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长沙市中(小)学教师统一备课纸

科目

数学

年级

高三

班级

时间

直线与圆锥曲线的位置关系(一)

1.知识与技能:

①掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系(交点个数)的判定方法:代数方法和几何法(数形结合方法).

②会运用数形结合的思想将交点问题转化为方程根的问题来研究; 2.过程与方法:

①培养学生运算能力、探索能力,分析问题解决问题的能力; ②培养学生数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想及分类讨论思想. 3.情感、态度与价值观:

①培养学生运动变化观点; ②培养学生认识事物的特殊性与一般性规律.

教学目标

教材分析

教学重点:

直线与圆锥曲线位置关系的判定方法,以及判定方法的灵活应用.

教学难点:

直线与圆锥曲线在某个区间内有交点的问题.求参数的取值范围.

实

一、新课引入

在前面的学习中,我们知道了直线与圆的位置关系与它们公共点个数的联系,即: ①相离——没有公共点; ②相切——一个公共点; ③相交——两个公共点? 那么直线与圆锥曲线的位置关系是否也是这样呢?如果不是,又会是怎样呢?. 施教学过程设计二、新课设计

(一)合作探究

x2y2探究1.若直线l过点(0,1),则它椭圆与1的交点个数是

个. 42学生思考后,提问学生用什么方法判定? 数形结合法(几何法)因点(0,1)在椭圆内,故直线与椭圆有两个交点. 探究2.过点P(0,1)且与双曲线x2y21只有一个公共点的直线有几条?它们的斜率分别是多少呢? 学生思考后,提问学生用什么方法判定? 法一:数形结合法(几何法):结合学生的回答用多媒体演示与双曲线只有一个公共点的直线有四条.并提出:虽能判断几条,但无法求斜率. 法二:通法(代数法):联立方程,(或ay2byc0). 把研究直线和圆锥曲线位置关系的问题转化为研究方程组解的问题.

改为抛物线y4x呢? 2f(x,y)0消去x或y,得到关于x(或y)的方程ax2bxc0

ykxb

(二)知识归纳

1.直线与圆锥曲线的位置关系从几何角度看,可分为三类:直线与圆锥曲线没有交点,直线与圆锥曲线仅有一个交点以及直线与圆锥曲线有两个交点.但特别要注意的是直线与圆锥曲线只有一个交点时不一定是直线与圆锥曲线相切.直线与圆锥曲线相交时也不一定有两个交点. 2.从代数的角度看,可以将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元方程解的情况来判断. AxByc0ax2bxc0

f(x,y)0 (1)当a0时,若一次方程有解,则只有一解,即直线与圆锥曲线只有一个交点.此时,若圆锥曲线为双曲线,则直线与渐近线平行;若圆锥曲线为抛物线,则直线与对称轴平行或重合.

(2)当a0时,0方程有两不等实根相交(于两点); 0方程有两相等实根相切(于一点); 0方程无实根相离(无公共点) (三)小题查验

(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是:直线l与椭圆C只有一个公共点. (2)直线l与双曲线C相切的充要条件是:直线l与双曲线C只有一个公共点. (3)直线l与抛物线C相切的充要条件是:直线l与抛物线C只有一个公共点. (四)典例分析

x2y21的交点的例1.若直线mxny4和圆O:xy4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆9422个数为

(

) A.至多一个

B.2

C.1

D.0 例2.若直线ykx2与双曲线xy6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是

(

) 221515151515A.3,3

B.0,3

C3,1

3,0

D(五)变式训练

x2y21恒有公共点,试求实数b的取值范围. 变式训练1:已知直线mxnyn0与椭圆C:5b【解析】因为直线mxnyn0恒过定点(0,1),故只需(0,1)在椭圆上或椭圆内, 0212即1,即b1,又b5,故b的取值范围是[1,5)(5,). 5b22xy变式训练2:无论m为何实数,直线l:yxm与双曲线C:221恒有公aby 共点,试求双曲线C的离心率e的取值范围. 【解析】依题意只需l:yxm的斜率比C:bxyyx的斜的渐近线122aab22O x 率小,即b1,解得e2. a

(六)思维拓展

y2x|x|1的交点的个数为

(

) 例3.直线yx3与曲线94A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

例4.方程x|x|y|y|(0)的曲线即为函数yf(x)的图象,对于函数yf(x),下列命题中正确的169是

.(请写出所有正确命题的序号) ①函数yf(x)在R上是单调递减函数; ②函数yf(x)的值域是R; ③函数yf(x)的图象不经过第一象限; ④函数yf(x)的图象关于直线yx对称; ⑤函数F(x)4f(x)3x至少存在一个零点. 【答案】①②③

x2y【解析】当x＜0,＜0时,方程化为y2x2y21,表示的函数图像为椭圆1在第三象1691692222xyxy限部分;当x≤0,y≥0时,方程可化为1,表示的函数图像是双曲线1左支的16916922yxyx轴上方部分;当x≥0,≤0时,方程可化为1,表示的函数图像是焦点在y轴上的双曲线916y2x21下支的y轴右侧部分,函数yf(x)图像如图所示,有图像知,函数yf(x)在R上是单调916递减函数,值域是R,图象不经过第一象限,图象不关于直线yx对称,故①,②,③正确,④⑤不正确.

三、课堂总结

判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用的方法: 1.代数法:联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x和y的方程组,消去y(或x)得到一个一元方程,次方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标; 2.几何法:即画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点的个数.恒有交点时往往可以转化为点或直线与圆锥曲线相对位置关系的判断.

四、作业布置

教学反思