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高二数学同步测试—简单几何体（12）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若正棱锥的底面边长与侧棱长都相等，则该棱锥一定不是

A．三棱锥

B．四棱锥

C．五棱锥

2．一个棱柱是正四棱柱的条件是

A．底面是正方形，有两个侧面是矩形

B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面

C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直

D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱

3．如图，棱锥P-ABCD的高PO＝3，截面积A’B’C’D’平行于底面ABCD，PO与截面交于O’，且OO’＝2。如果四边形ABCD的面积为36，则四边形A’B’C’D’的面积为

（

）

A．12

B．

16

C．

4

D．

8

P

D'

C'

A'

B'

O'D

A

O

C

B

4．一个凸多面体的面数为8，各面多边形的内角总和为16π，则它的棱数为

A．24

B．22

C．18

D．16 5．在棱长为1的正方体AC1中，对角线AC1在六个面上的射影长度总和是

A．63

B．

62

C．6 D．36

D．六棱锥

（

）

（

）

（

）

（

）

6．若一个四面体由长度为1，2，3的三种棱所构成，则这样的四面体的个数是

（

）

A．2 B．4 C．6 D．8

7．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（

）

a3A．

3a3B．

4a3C．

6a3D．

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8．已知一个简单多面体的每个面均为五边形，且它共有30条棱，则此多面体的面数F和顶

点数V分别等于

（

）

A．F=6,V=26

B．F=8,V=24

C．F=12,V=20

D．F=20,V=12 9．有一空容器，由悬在它上方的一根水管均匀地注水，直至

把容器注满．在注水过程中水面的高度曲线如右图所示，

其中PQ为一线段，则与此图相对应的容器的形状是（

）

A．

B．

C．

D．

空

O x(时间) 满

P y(水量) Q 10．一个水平放置的圆柱形贮油桶，桶内有油部分占底面一头的圆周长的油的高度与桶的高之比是

A．

C．

1，则油桶直立时，4（

）

1

4B．11

421

8D．11

8211．平行六面体ABCD-A´B´C´D´的六个面都是菱形，那么顶点B在平面ACB´上的射影一定是⊿ACB´的

A．重心

B．

外心

C．内心

D．垂心

12．棱长为a的正四面体中，高为H，斜高为h，相对棱间的距离为d，则a．H．h．d的大

小关系正确的是

（

）

A．aHhd

B．ahHd

C．ahdH

D．adhH

二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果．

13．正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，E是AA1的中点，在对角面BB1D1D上取一点M，使AM+ME最小，其最小值为

. 14．一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，这样的三棱锥体积为

（写出一个可能值）．

15．在正四棱锥P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于

．（结果用反三角函数值表示）

16．如图，在直四棱柱A1B1C1

D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满A1足条件____________时，有A1 B⊥B1 D1．(注：填上你认D1B1C1为正确的中学学科网精品资料

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DABC

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一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．)

三、解答题：本大题满分74分．

17．（10分）已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,两条侧棱长为长的取值范围．

13, 试求第三条侧棱2D

C

AB

18．（12分）今年庄稼丰收，这些粮食往哪儿放呢？东东爹想了个好办法：拿一块长方形木板，借助两面墙，在偏屋的墙角处围一个直三棱柱的谷仓。而木板可以立着放，可以横着放，怎样放装粮食多呢？

19．（12分）长方体的底面积是4，对角线长是4，求长方体侧面积的最大值．

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20．（12分）

已知简单多面体的顶点数．面数．数分别为V．F．

E．

多面体的各面为正x边形，过同一顶点的面数为y．

求证：

1111.

xyE2

21．（14分）如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AB=a．

（Ⅰ）求证：直线A1D⊥B1C1；

（Ⅱ）求点D到平面ACC1的距离；

（Ⅲ）判断A1B与平面ADC的位置关系，

并证明你的结论．

22．（14分）如图，在三棱锥S—ABC中，SA平面ABC，ABAC1，SA2，D为BC的中点．

（1）判断AD与SB能否垂直，并说明理由；

（2）若三棱锥S—ABC的体积为3，且BAC为

6钝角，求二面角S—BC—A的平面角的正切值；

（3）在（Ⅱ）的条件下，求点A到平面SBC的距离．

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一、选择题：每小题5分，共60分．

1．D 2．C

3．C 4．D 5．B 6．A

7．C

8．C

9．C

10．B

11．B

12．B 6．解：满足条件的四面体只有如下两种情形：

23322331312227．解：该内接正八面体的棱长为2

，

a它的体积为2

13a2221a231a.选C 610．解：

设圆柱的底面半径为R，高为h，油桶直立时油面的高度为x，则

1

4R222x11RhRx,R1242.

选B．

11．解：∵BA=BC=BB´,∴B在平面ACB´上的射影到三个顶点的距离也相等，即射影为⊿ACB´的外心。答案：B．

12．解：易得H选B．

二、填空题：本大题满分16分，每小题4分．

63a246a,h32a276a,d22a186a.∴

ahHd.

13．52532或arcsin

15．arccos

16．AC⊥BD,或AB=AD且BC=DC a

14．55224D113．解：

ADEA1O1B1C1MCOB中学学科网精品资料

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ACBD,ACBB1,BDBB1B,

AC面BB1D1D.

设AC∩BD=O，则AO=CO．

∴平面BB∴C是A关于平面BB1D1D是线段AC的垂直平分面，1D1D的对称点。连CE交面BB则M 就是要求的点，这时AM+ME 最小。又AM=CM, ∴AM+ME1D1D于M ，的最小值就是CE 的长，而CE2AC2AE22a21a4=3a, ∴AM+ME的最小值23为a．

2三、解答题：本大题满分74分．

17．

解: 如图, 四面体ABCD中,AB=BC=CA=1（2分）, DA=DC=213（4分）, 只有棱DB的长x是可2变的．

在三角形ACD中, M为AC的中点, MD=131233．

MB=（6分）．

22D2C由MF-MB

得:

333BD.（10分）

22AMBF

18．

解：用直尺测出木板的长为a，宽为b，知道a>b>0，又知道两墙面所成二面角为

（2分）．

设b作底边，a作直三棱柱的侧棱，底面另两边为x,y, 则

222V1xysina,bxy2xycos,（4分）

2

xy

b4Vcos2222Vasin.xyb2xy,（6分）

asinVcos24V14a,得Vabcot,sinasin42（8分）

2则当x=y时，Vmax2121abcot.Vabcot（10分）同理，若a作底边，有4242,当x=y时，2Vmax1abcot42.

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2abcotab,a2bab2,∴Vmax142.

所以把长边放在底面，短边作侧棱，且围成底面是等腰三角形时，容积最大。（12分）

19．

解：设长方体的底面长，宽分别为x,y, 高为z．（2分）

则xy4.......(1),x2y2z242......(2)

16x2164224(x)2xx．（4分）

由：（1）、（2），得z∵x44,

∴z22,即z(0,22].（6分）

x2(xy)z2z24z22z2(24z2).（8分）

∵S侧将z2(24z2)(z2)224z2的二次函数视为z2的二次函数，它的增区间是[0，12].（10分）由于z(0,22]，故当z28时，z2(24z2)取最大值128. 2.（12分）

∴S侧的最大值为16

20．证明：由题设，有

VFE2VFE22E2E2EE2，

2ExF

FxyxyVxFyV2E由此得到所证等式.

21．

（Ⅰ）证法一：∵点D是正△ABC中BC边的中点，∴AD⊥BC，

又A1A⊥底面ABC，∴A1D⊥BC ，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1．

证法二：连结A1C1，则A1C=A1B．

∵点D是正△A1CB的底边中BC的中点，

∴A1D⊥BC ，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1．（4分）

（Ⅱ）解法一：作DE⊥AC于E，

∵平面ACC1⊥平面ABC，

∴DE⊥平面ACC1于E，即DE的长为点D到平面ACC1的

距离．

在Rt△ADC中，

AC=2CD=a,AD

3

a.2∴所求的距离DECDAD3a.（9分）

AC4解法二：设点D到平面ACC1的距离为x，

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∵体积VCACD11VDACC1

13a2CC111aCC1x.

3832x3即点D到平面ACC的距离为3．1a,a（9分）

44

（Ⅲ）答：直线A1B//平面ADC1，证明如下：

证法一：如图1，连结A1C交AC1于F，则F为A1C的中点，∵D是BC的中点，∴DF∥A1B，

又DF

平面ADC1，A1B平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1．

（14分）

证法二：如图2,取C1B1的中点D1，则AD∥A1D1，C1D∥D1B，

∴AD∥平面A1D1B，且C1D∥平面A1D1B，

∴平面ADC1∥平面A1D1B，∵A1B平面A1D1B，∴A1B∥平面ADC1．

（14分）

22．

解：（1）因为SB在底面ABC上的射影AB与AD不垂直，否则与AB=AC且D为BC的中点矛盾，所以AD与SB不垂直；（4分）

（2）设BAC，则V解得

sin112312sin

326300，所以60（舍），120．

2SA平面ABC，AB=AC，D为BC的中点

ADBC,SDBC，

则SDA是二面角S—BC—A的平面角．

在RtSDA中，tanSDASA4, AD故二面角的正切值为４；（9分）

（3）由（2）知，BC平面SDA，所以平面SBC平面SDA，过点A作AESD，则AE平面SBC，于是点A到平面SBC的距离为AE, 217217即A到平面SBC的距离为．（14分）

1717审定意见：本套试题中包含应用题、开放题、探索题，题型较为全面、灵活，笔者修改了题从而AEADsinSDA中的一些标点符号，并进行了一定的核算．

审稿人：安振平

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