复习参考题优秀课堂实录

高三理科数学一轮复习

简单多面体的外接球问题

2018.3.15 一、2017年考试大纲节选(理科数学): （1）空间几何体

①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图．

⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．

二、考情分析

纵观近5年全国新课标卷和其他各省市高考卷，对于简单多面体外接球的考查几乎成了高考必考题之一，其中又以对三棱锥的外接球的考查居多。

研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.

三、教学目标

1.掌握球的表面积公式和体积公式；

2.掌握补形法解决几何体外接球问题；

3.掌握定球心法解决几何体外接球问题；

4.培养学生空间想象能力。

四、数学思想

体会将空间问题转化为平面问题的化归思想

五、教学重点、难点

1.补形法解决几何体外接球问题；

2.定球心法解决几何体外接球问题.

1

六、教学过程

(一).教材位置：人教A版P28练习2 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是acm，求球的体积. （二）.考题重现

（1）2011年全国卷（理）15 已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB6,BC23,则棱锥OABCD的体积为 . （2）2012年全国卷（理）11 已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2；则此棱锥的体积为（

）

(A)2322

(B)

(C)

(D)

6632（3）2013年全国新课标1（理）6 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为

(

) 500π3A、cm

3866π3B、cm

31372π3C、cm 32048π3D、cm

3（4）2015年全国新课标1（理）11 圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620，则r

(A)1

(B)2

(C)4

(D)8 （5）2015年全国新课标2（理）9 已知A，B是O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为

（A）36

（B）64

（C）144

（D）256

（6）2016年全国新课标1（理）6 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径. 若该几何体的体积是28π，则它的表面积是

3（A）17π

（B）18π

（C）20π

（D）28π

2

（三）.分组练习

题组一：

1.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是acm，则球的体积为____. 分析：2R23a2,R3433a,VR3a

2322. 长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，若它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是____. 分析：2R2324252,R52,S4R250

2设计意图：回归课本

教学方法：学生计算、作答

变式1. 一个四面体的所有棱长都为1，则其外接球的表面积为__________. 分析：如图将该正四面体放回到一个正方体中去考虑，设正方体的边长a，

则2a1，所以变式2. 四面体ABCD中，ABDC10，ADBC5，BDAC13, 则其外接球的表面积为_______. 分析：如图将该四面体放回到一个长方体中去考虑，

A22R2333a2,R2,S4R2

82设长方体的三边长分别为a,b,c，

aDabBD13,acAB10,cbBC5,

2Ra2b2c228,R27,S4R228

2222222222BbcC

3

变式3 已知三棱锥P-ABC中，PAPB，PAPC，PBPC，且PA2PB2PC2，则该三棱锥外接球的表面积为_____.分析：如图将该四面体放回到一个长方体中去考虑，

322Ra2b2c26,R2,S4R26

2变式4. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，CBPB，CBAB，且PA2AB2BC2，则其外接球的体积为____.分析：如图将该四面体放回到一个长方体中去考虑，

2R23abc6,R,S4R26

22222CBPA4个变式的设计意图：紧扣教材，拓展延伸，

4个变式的教学方法：叫学生到黑板讲解，但不具体计算，只是强调处理技巧

学有所得：对于一些特殊的几何体（三棱锥）我们可以通过补形（补成长方体或正方体）解决外接球问题。

思考：对于变式4我们能否通过确定该球的球心来解决问题呢？？

P分析：定球心法

方法一：ABC为直角三角形

OA球的过ABC的截面圆的圆心在AC的中点

O1CBPA面ABC,面PAC面ABC

在PAC中过O1作OO1垂直AC交PC于O,显然O到P,A,B,C的距离相等

O为球心，ROC16PCAC2AP2

22方法二：BCPA,BCBA,PABAA,BC面PAB,CBP为直角三角形，

又

4 CAP为直角三角形，球心O在AC的中点

提出思考的设计意图：因为历年高考中解决外接球的基本方法，也是最重要、最基本的方法（通法通解）

确定球心法：

平面截球的截面是圆，圆心与球心的连线垂直截面圆

设球心到截面的距离是d，球的半径为R,截面圆的半径为r，则有Rdr

题组二：

1.2011年全国卷（理）15 222已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB6,BC23,则棱锥OABCD的体积为 . 分析：如图O1为截面ABCD的中心，OO1面ABCD

11O1CAC361223

22OO1OC2O1C24223DOC22

AO1B11VSH623283

33

2.2012年全国卷（理）11 已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2；则此棱锥的体积为（

）

(A)2322

(B)

(C)

(D)

6632SOA分析：如图，ABC的中线AM,CD交于点O1，

连结OO1，则OO1面ABC,

2316

CO1CD，OO1OC2O1C213333DO1MBC

5

O为SC的中点，所以点S到面ABC的距离h2OO11313262

absin600,V24343626

3又S

ABC3.2009年全国卷（理）15 直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上. 若ABACAA12,BAC1200，则此球的表面积等于_________. 分析：如图O1,O2分别是ABC,A的外心，由题意知球心O在OO1BC1112的中点

在ABC中，由余弦定理的BC23

在AO1C中，由正弦定理的2O1CBC4,即O1C2，

sin1200

设球的半径为R，在RtOOC，OC2，OCR,又R2145，1中，OO111球的表面积S4R220

学有所得：如何确定球心的位置？

平面截球的截面是圆，圆心与球心的连线垂直截面圆

设球心到截面的距离是d，球的半径为R,截面圆的半径为r，则有Rdr

222

6

课后巩固提高

题型一：某类特殊棱锥的外接球问题：通过补形转化成长方体或立方体的外接球问题

1.某正四面体的外接球的体积为276，则该正四面体的表面积为____.

82.三棱锥ABCD中，ABCD6，ACBDADBC5，则其外接球的表面积为____.

3.正三棱锥PABC所有顶点都在半径为3

的球面上，PA,PB,PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为______.

4.已知P,A,B,C,D在球O的表面上，PAABCD，PA26，ABCD是边长为23

的正方形，则OAB的面积为________.

5.已知正方形APP，点BC分别是边PP，折成一个

12P3

的边长为412，P2P3

的中点，沿AB,BC,CA三棱锥PABC使P1,P2,P3重合于点P,则三棱锥PABC外接球体积为(A)24

(B)

86

(C)

46

(D)4

题型二、有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥，球心在公共斜边的中点处



1.在矩形ABCD中，AB4，BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD,

则四面体ABCD外接球的体积为（

）

(A)125125125125

(B)



(C)



(D)

12963

2.三棱锥SABC所有顶点都在球O的球面上，SAACSBBC22，SC4，则该球的体积为（

）

(A)25632

(B)



(C)

16

(D)64

333.平行四边ABCD中，ABADCD1，BD2,BDCD,将其沿对角线BD折成四面体

ABCD，使平面ABD平面BCD,若四面体ABCD的顶点都在同一球面上，则该球的体积为(A)32

(B)

3

(C)



(D)2

23

7

4.已知直角梯形ABCD中，ABAD，CDAD，AB2AD2CD2,沿AC折成三棱锥，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的体积为_____.

题型三、平面截球的截面是圆，设球心到截面的距离是d，球的半径为R,截面圆的半径为r，则

有Rdr

2221.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB6,BC23,

则棱锥OABCD的体积为_____.

2.已知一个球的球心O到过球面上A,B,C三点的截面的距离等于该球半径的一半，ABBCCA3，则该球的体积为_______.

3.三棱锥PABC所有顶点都在同一球面上，其中ABC为等边三角形，PA平面ABC,

PA2AB2a，则该球的体积为______.

4.2011辽宁已知球的直径SC4，A,B是该球面上的两点，AB3,ASCBSC300，则棱锥SABC的体积为

3

(D)1

(A)33

(B)

23

(C)

5. (2005全国1，理2)一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为

（ ）

A．82

B．8 C．42

D．4

5.( 2006全国，理7)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）

（A）16π （B）20π （C）24π

（D）32π

3. (2010新课标，理10)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(

) A．πa2

B.

8 711πa2

C.πa2 D．5πa2

33