2.1.4 平面与平面之间的位置关系优质课教案

平面与平面垂直的判定与性质

一、教学目标

1、掌握平面与平面垂直的判定定理及性质定理；能运用判定定理、性质定理解决一些简单问题；了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。

2、从开放性的角度设计问题，引导学生建立新的认知结构，挖掘学生的创造潜能。

二、教学重点、难点：判定定理、性质定理的证明及其应用。

三、学法指导：直观感知、操作确认，猜想与证明。

四、教学过程

（一）由开放题设计知识的产生过程

问题导入：直线a和平面α，β有以下三种关系：①a⊥β，②aα，③α⊥β，如果任意取其中两个作为前提，另一个作为结论构造命题，能构成几个命题？如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请举出一个反例，并补充条件使其成为真命题并加以证明。

学生画图形，搭模型——用课本、桌面作平面，铅笔作直线，能构成三个不同的命题：(1)a;(2)a;(3)a

。

aaa其中（1）是真命题，（2），（3）均是假命题。

（二）用开放的思维探索命题的真假

1、证明命题（1）为真

A

a

D

O

B C

图1

分析：设α∩β

= CD，欲证α⊥β，只须判断二面角α

–

CD –

β为直二面角。为此，作OB⊥CD，得其二面角∠AOB（如图）。明了α⊥β。

归纳（两个平面垂直的判定定理）：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

符号语言：l,l。

作用：由线面垂直得到面面垂直。

2、考察命题（2）的真假

由α⊥β，α内的直线a不一定能与β垂直（反例如图）。

问题：对于命题（2），能否在α⊥β，aα的条件下，再增加某些

a

图2

1 AOAOOBAOB90，从而证OB

条件，使a⊥β的结论成立呢？

引导学生分析，发现增加“a垂直于α与β的交线”的限制条件后，就能判定a⊥β。

证明：在β内引直线BE⊥CD，垂足为B，则∠ABE是二面角α—CD—β的平面角。

由知AB⊥BE，又AB⊥CD，BE与CD是β内的两条相交直线，所以AB

⊥β。

归纳（两个平面垂直的性质定理）：

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

符号语言：设,CD,AB,ABCD，则有AB

⊥β。

作用：由面面垂直得到线面垂直。

3、考察命题（3）的真假

途径1：结论开放。α⊥β且a⊥β不一定能得到aα，但可以判断a与α的位置关系是什么？（平行或在平面内）

途径2：条件开放。为了得到aα这个结论，需要增加什么条件？（由途径1可知：为使a∥α不成立，a须经过α内的一点P。）

思考：（1）设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系？

分析：过一点只能作一条直线与已知平面垂直。（答：直线a必在平面α内）

归纳：,a,Paa。

（2）已知平面α、β和直线a，若α

⊥β，a

⊥β，a，则直线a与平面α具有什么位置关系？（答：直线a与平面α平行）

归纳：,a,aa//。

探究：已知平面α、β和直线a，若α

⊥β，AB,a//,aAB，则直线a与平面β具有什么位置关系？（a

⊥β）

4、应用举例

例：如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC。

2

证明：设圆O所在平面为α

，由已知条件，

PA

⊥α

，BC在α内，所以PA⊥BC，

因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，AB是圆O的直径，

所以∠BCA是直角，即BC⊥AC。

又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，

所以BC⊥平面PAC，又因为BC在平面PBC内，所以平面PAC⊥平面PBC。

5、探究：如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？

拓展：哪些直线互相垂直？线面垂直呢？

（三）通过开放性练习的研究深化对知识的认识

课堂练习：直线a和平面α,β有以下三种关系：①a⊥α，②a∥β，③α⊥β，以其中两个作为条件，另一个作为结论，构成三个命题，试探讨其真假。

（四）课堂总结

1、直线与平面垂直的判定：l,l。

2、直线与平面垂直的性质：（1）设,CD,AB,ABCD，则有AB

⊥β。

（2）,a,Pa（五）作业：课堂练习。

a；,a,aa//。

教学反思：

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