习题4.2优质课一等奖

第1讲

直线与圆

考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系特别是弦长问题，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.

热点一

直线的方程及应用

1．两条直线平行与垂直的判定

若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．

2．求直线方程

要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．

3．两个距离公式

(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，

l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A＋B22(A2＋B2≠0)．

|Ax0＋By0＋C|2(A＋B2≠0)．

22A＋B(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝例1

(1)(2017届咸阳二模)已知命题p：“m＝－1”，命题q：“直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”，则命题p是命题q成立的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

A －1解析

命题q中，直线x＋m2y＝0 的斜率是－1, 所以2＝－1，解得m＝±1.所以命题p是mB．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

命题q成立的充分不必要条件．故选A. (2)(2017届南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为________．

答案

32 解析

由题意，得直线l1：kx－y＋2＝0的斜率为k，且经过点A(0，2)，直线l2：x＋ky－21＝0的斜率为－，且经过点B(2，0)，且直线l1⊥l2，所以点P落在以AB为直径的圆C上，k其中圆心坐标为C(1，1)，半径为r＝2，

则圆心到直线x－y－4＝0的距离为d＝|1－1－4|2＝22，

所以点P到直线x－y－4＝0的最大距离为

d＋r＝22＋2＝32. 思维升华

(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况．

(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．

跟踪演练1

(1)(2017·杭州质检)设k1, k2分别是两条直线l1, l2的斜率，则“l1∥l2”是“k1＝k2”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

C 解析

因为l1，l2是两条不同的直线，所以若l1∥l2，

则k1＝k2，反之，若k1＝k2，则l1∥l2.故选C. (2)已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为(

) 1A．0或－

211C．－或

22答案

B 解析

依题意，得|3m＋5||－m＋7|＝，

m2＋1m2＋11B.或－6 21D．0或

2B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

所以|3m＋5|＝|m－7|. 所以(3m＋5)2＝(m－7)2，

整理得2m2＋11m－6＝0. 1所以m＝或m＝－6. 2

热点二

圆的方程及应用

1．圆的标准方程

当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2. 2．圆的一般方程

22DED＋E－4F－，－为圆心，x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D＋E－4F>0，表示以为半2222222径的圆．

例2

(1)(2017届重庆市第八中学月考)若圆C与y轴相切于点P(0，1)，与x轴的正半轴交于A，B两点，且|AB|＝2，则圆C的标准方程是(

) A.(x＋2)2＋(y＋1)2＝2 B.(x＋1)2＋(y＋2)2＝2 C.(x－2)2＋(y－1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－2)2＝2 答案

C 解析

设AB的中点为D，则|AD|＝|CD|＝1，

∴r＝|AC|＝2，∴C(2，1)，故选C. (2)若圆C过点(0，1)，(0，5)且圆心到直线x－y－2＝0的距离为22，则圆C的标准方程为______________．

答案

(x－9)2＋(y－3)2＝85或(x－1)2＋(y－3)2＝5 a＋4＝r，解析

依题意，设圆C的方程为(x－a) 2＋(y－3) 2＝r2(r>0)，则|a－5|＝22，222

解得a＝9，r2＝85或a＝1, r2＝5，故圆C的方程为(x－9)2＋(y－3)2＝85或(x－1)2＋(y－3)2＝5. 思维升华

解决与圆有关的问题一般有两种方法

(1)几何法，通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．

(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．

跟踪演练2

(1)圆心为(4，0)且与直线3x－y＝0相切的圆的方程为(

) A.(x－4)2＋y2＝1

C.(x－4)2＋y2＝6

答案

B 解析

由题意可知，圆的半径为点到直线的距离，

B.(x－4)2＋y2＝12 D.(x＋4)2＋y2＝9

即r＝d＝|3×4－0|3＋1＝23 ，

结合圆心坐标可知，圆的方程为(x－4)2＋y2＝12 . (2)(2016·浙江)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是________．

答案

(－2，－4)

5 解析

由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，

解得a＝2或a＝－1. 当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．

当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，

化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，

表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．

热点三

直线与圆、圆与圆的位置关系

1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法．

(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则dr⇔直线与圆相离．

(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，方程组Ax＋By＋C＝0，222消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆x－a＋y－b＝r

相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0. 2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．

2设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r1，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22，两圆心之间的距离为d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：

(1)d>r1＋r2⇔两圆外离．

(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切．

(3)|r1－r2|

(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切．

(5)0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含．

例3

(1)(2017·天津市河东区二模)若a，b∈R，直线l：y＝ax＋b，圆C：x2＋y2＝1.命题p：直线l与圆C相交；命题q：a>b2－1，则p是q的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

B B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析

因为直线与圆相交，所以圆心到直线的距离小于半径，即<1 ，可得|b|0，2此时a>b2－1不一定成立(a可能为负数)；若a>b2－1 ，可得b≥1，

即b2b2－1，⇒|b|

) A．相离

B．外切

C．相交

D．内切

答案

B 解析

化圆C2的方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝9，则圆C1与C2的圆心距为32＋42＝5＝r1＋r2，所以圆C1和圆C2外切，故选B. 思维升华

(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．

(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．

跟踪演练3

(1)圆C: (x＋1)2＋y2＝6与直线x＋y＋3＝0相交于A，B两点，则|AB|等于(

) A．2

C.2

答案

B 解析

因为圆心坐标为C(－1，0)，半径r＝6，所以圆心到直线x＋y＋3＝0的距离d＝B．4 D．22

|－1＋0＋3|2＝2，由弦心距、半径、弦长之间的关系可得弦长

|AB|＝2(6)2－22＝4，故选B. (2)(2017·西宁复习检测)如果圆(x－a) 2＋(y－a) 2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a的取值范围是(

) A.(－3，－1)∪(1，3)

C.[－1，1]

答案

D 解析

圆心(a，a)到原点的距离为|2a|，半径r＝22，圆上的点到原点的距离为d.因为圆B.(－3，3) D.[－3，－1]∪[1，3] (x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在点到原点的距离为2，则圆(x－a)2＋(y－a)2＝8与圆x2＋y2＝2有公共点，r′＝2，∴r－r′≤|2a|≤r＋r′，即1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－

1，所以实数a的取值范围是[－3，－1]∪[1，3]，

故选D.

真题体验

1．(2016·山东改编)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是________．

答案

相交

解析

∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2，

∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，

圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝由几何知识得|a|，

2|a|2＋(2)2＝a2，解得a＝2. 2∴M(0,2)，r1＝2. 又圆N的圆心坐标为N(1,1)，半径r2＝1，

∴|MN|＝1－02＋1－22＝2. 又r1＋r2＝3，r1－r2＝1，

∴r1－r2＜|MN|＜r1＋r2，∴两圆相交．

2．(2016·上海)已知平行直线l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1，l2的距离是________．

答案

25

53．(2016·全国Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝23，则圆C的面积为________．

答案

4π

解析

圆C：x2＋y2－2ay－2＝0，即C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圆心为C(0，a)，C到直线y＝|0－a＋2a||a|x＋2a的距离d＝＝.又由|AB|＝23，

22得232|a|22＋＝a＋2，解得a2＝2，

22所以圆的面积为π(a2＋2)＝4π.

押题预测

1．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为(

) 43A.x±2＋y2＝

3313B.x±2＋y2＝

3343C．x2＋y±2＝

3313D．x2＋y±2＝

33押题依据

直线和圆的方程是高考的必考点，经常以选择题、填空题的形式出现，利用几何法求圆的方程也是数形结合思想的应用．

答案

C 2π解析

由已知得圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对的圆心角为.设圆心坐标为(0，a)，3半径为r，

ππ2则rsin＝1，rcos＝|a|，解得r＝，

333433即r2＝，|a|＝，即a＝±，

33343故圆C的方程为x2＋y±2＝. 332．设m，n为正实数，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－4＝0与圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0相切，则mn(

) A．有最小值1＋2，无最大值

B．有最小值3＋22，无最大值

C．有最大值3＋22，无最小值

D．有最小值3－22，最大值3＋22 押题依据

直线与圆的位置关系是高考命题的热点，本题与基本不等式结合考查，灵活新颖，加之直线与圆的位置关系本身承载着不等关系，因此此类题在高考中出现的可能性很大．

答案

B 解析

由直线(m＋1)x＋(n＋1)y－4＝0与圆(x－2)2＋(y－2)2＝4相切，可得2|m＋n|m＋12＋n＋12＝2，整理得m＋n＋1＝mn.由m，n为正实数可知，m＋n≥2mn，令t＝mn，则2t＋1≤t2，因为t>0，所以t≥1＋2，所以mn≥3＋22.故mn有最小值3＋22，无最大值．故选B.

3．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋ax＋2ay－9＝0(a>0)相交，公共弦的长为22，则a＝________. 押题依据

本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路．

答案

10

222x＋y＝4，解析

联立两圆方程22

x＋y＋ax＋2ay－9＝0，

可得公共弦所在直线方程为ax＋2ay－5＝0，

故圆心(0,0)到直线ax＋2ay－5＝0的距离为

|－5|a2＋4a故22＝5(a>0)．

a552＝22，解得a2＝，

2a10. 222－因为a>0，所以a＝

A组

专题通关

1．(2017·河南省郑州市第一中学调研)点(3，4)在直线l：ax－y＋1＝0上，则直线l的倾斜角为(

) A．30°

C．60°

答案

C 解析

将点(3，4)代入直线方程，求得a＝3 ，所以直线l：3x－y＋1＝0 ，斜率k＝3 ，所以倾斜角为60°，故选C. 3πxy2．(2017届吉林大学附属中学模拟)若<α<2π，则直线＋＝1必不经过(

) 2cos αsin αA．第一象限

C．第三象限

答案

B 解析

令x＝0，得y＝sin α<0，令y＝0，得x＝cos α>0，直线过(0，sin α)，(cos α，0)两点，因而直线不过第二象限．故选B. 3．直线l与两条直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率是(

) 2A.

33B.

2B．第二象限

D．第四象限

B．45°

D．120°

2C．－

3答案

C 3D．－

2b＝1，a＋2解析

设P(a,1) ，Q(b，b－7) ，所以1＋b－72＝－1，a＝－2，解得所以P(－2,1)，Q(4，－3)，

b＝4，

1－－32所以直线l的斜率k＝＝－，故选C. 3－2－44．(2017·湖北省六校联合体联考)过点P(1，2)的直线与圆x2＋y2＝1相切，且与直线ax＋y－1＝0垂直，则实数a的值为(

) A．0

4C．0或

3答案

C 解析

当a＝0时，直线ax＋y－1＝0，即直线y＝1，此时过点P(1，2)且与直线y＝1垂直的直线为x＝1，而x＝1与圆相切，满足题意，所以a＝0成立；当a≠0时，过点P(1，2)且与11直线ax＋y－1＝0垂直的直线斜率为，可设该直线方程为y－2＝(x－1)，即x－ay＋2a－1aa＝0，再根据直线与圆相切，即圆心到直线距离为1，可得4或.故选C. 35．(2017·广西陆川县中学知识竞赛)已知圆C1：x2＋y2－2x－4y－4＝0与圆C2：x2＋y2＋4x－10y＋25＝0相交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程为(

) A．x＋y－3＝0

C．x＋3y－1＝0

答案

A 解析

由题设可知，线段AB的垂直平分线过两圆的圆心C1(1,2)，C2(－2,5)，由此可得kC1C2＝5－2＝－1，故由点斜式方程可得y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0，故选A. －2－1B．x－y＋3＝0 D．3x－y＋1＝0 4B．－

34D.

3|2a－1|4＝1，解得a＝.所以a＝03a2＋1

6．(2017届哈尔滨市第三中学模拟)若圆(x－1)2＋(y＋1)2＝r2上有且只有两个点到直线x－y＋1＝0的距离等于A.(2，22]

C.[2，22)

答案

B 解析

因为圆心C(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＋2，则半径r的取值范围是(

) 2B.(2，22)

D.[2，22]

|1＋1＋1|23232＝，所以当半径r＝2222322＝22时，圆上有三个点到x－y＋1＝0的距离等于；当半径r＝－＝2时，圆22222.所以当半径2

) A．2

C．5

答案

C 解析

因为动点A(xA，yA)在直线l：y＝6－x上，

所以yA＝6－xA. 圆心C(1,1)到直线AB的距离为d，

1则d＝|AC|sin30°＝|AC|，

2因为直线AB与圆C有交点，

1所以d≤2⇒|AC|≤2，

2

所以(xA－1)2＋(5－xA)2≤16，

解得1≤xA≤5，

所以xA的最大值为5，故选C. ax＋2y＝3，8．(2017·上海市虹口区质监)若方程组无解，则实数a＝________. 2x＋ay＝2B．4 D．6

答案

±2 解析

由已知可得a×a－2×2＝0⇒a＝±2 .

19．(2017届洛阳统一考试)“a＝”是“直线2ax＋(a－1)y＋2＝0与直线(a＋1)x＋3ay＋3＝05垂直”的______________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选取一个填入) 答案

充分不必要

11解析

若两条直线垂直，则2a(a＋1)＋3a(a－1)＝0，解得a＝0或a＝，所以“a＝”是“直55线2ax＋(a－1)y＋2＝0与直线(a＋1)x＋3ay＋3＝0垂直”的充分不必要条件．

10．以坐标原点O为圆心，且与直线x＋y＋2＝0相切的圆的方程是________________，圆O与圆x2＋y2－2y－3＝0的位置关系是________．

答案

x2＋y2＝2

相交

解析

由题意所求圆的半径等于原点O到直线x＋y＋2＝0的距离，即r＝2＝2，则所1＋1求圆的方程是x2＋y2＝2.因为圆O与圆x2＋y2－2y－3＝0的圆心和半径分别为O(0,0)，r1＝2，C2(0,1)，r2＝2，r1＋r2＝2＋2，r2－r1＝2－2，所以r2－r1<|OC2|＝1

11．(2017届北京市西城区二模)已知圆O：x2＋y2＝1.圆O′与圆O关于直线x＋y－2＝0对称，则圆O′的方程是______________．

答案

(x－2)2＋(y－2)2＝1 解析

设圆O′的圆心为(a，b)，因为圆O′的圆心与圆O：x2＋y2＝1的圆心关于直线l：x＋y－2＝0对称，

－1＝－1，a·所以ab2＋2－2＝0，又圆的半径为1，

则所求圆O′的方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1. 12．(2017·长沙市长郡中学模拟)过定点(－2，0)的直线l与曲线C：(x－2)2＋y2＝4(0≤x≤3)交于不同的两点，则直线l的斜率的取值范围是______________．

3333答案

－，－∪，

5533b

解得a＝2，b＝2. (x－2)2＋y2＝4(0≤x≤3)表示的是以C(2，0)为圆心，以2为半径的圆解析

由已知曲线C：2的，其中两个端点为A(3，3)，B(3，－3)，当直线与圆相切时，设y＝k(x＋2)，即kx3－y＋2k＝0，由d＝r，得|4k|3＝2，解得k＝±，当经过点A(3，3)，B(3，－3)，与31＋k2

定点P(－2，0)的斜率kPA＝∪33. ，353333，kPB＝－，所以直线l的斜率的取值范围是－，－5553B组

能力提高

13．(2017·广州市综合测试)已知三条直线2x－3y＋1＝0, 4x＋3y＋5＝0, mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为(

) 42A.－3，3

424C.－3，3，3

24B.3，－3

224D.－3，－3，3

答案

D 解析

因为三条直线2x－3y＋1＝0, 4x＋3y＋5＝0, mx－y－1＝0不能构成三角形，所以直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0, 4x＋3y＋5＝0平行，或者直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点．当直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0, 4x＋3y＋5＝0分别平行时，

242m＝或－；当直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点时，

m＝－. 333224所以实数m的取值集合为－3，－3，3，故选D. 14．(2017届南昌模拟)若对圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x，y)，

|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是(

A．a≤－4

C．a≤－4或a≥6

答案

D B．－4≤a≤6 D．a≥6

) 解析

|3x－4y－9|表示圆上的点到直线l1: 3x－4y－9＝0的距离的5倍，

|3x－4y＋a|表示圆上的点到直线l2: 3x－4y＋a＝0的距离的5倍，

所以|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|的取值与x，y无关，即圆上的点到直线l1，l2距离和与圆上点的位置无关，所以直线3x－4y＋a＝0与圆相离或相切，并且l1和l2在圆的两侧，所以d＝|3－4＋a|5≥1，并且a>0，解得a≥6，故选D.

15．(2017·浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等五校联考)已知圆C：x2＋(y＋1)2π＝3，设EF为直线l：y＝2x＋4上的一条线段，若对于圆C上的任意一点Q，∠EQF≥，2则|EF|的最小值是______________．

答案

2(5＋3)

π解析

若对于圆C上的任意一点Q，∠EQF≥，则圆C上的任意一点都在以线段EF为直径2的圆内，圆心C(0，－1)到直线l的距离为d＝|－1－4|5＝5 ，所以圆上的点到直线l的距离的最大值为5＋3，所以以线段EF为直径的圆的半径的最小值为5＋3，则|EF|的最小值是2(5＋3). 16．在平面直角坐标系中，若直线l与圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：(x－52)2＋(y－52)2＝49都相切，且两个圆的圆心均在直线l的下方，则直线l的斜率为________．

答案

7 解析

由题意可采用数形结合法，两圆的圆心坐标及半径分别为

C1(0，0)，C2(52，52)，r1＝1，r2＝7，则直线C1C2的斜率为1，其倾斜角为45°，设直线l的斜率为k(k>1)，倾斜角为αl，两直线的交点为P，其夹角为α，两个切点为A，B，如图所示，

则|C1C2|＝10, sin α＝|BC2|－|AC1||C1C2|3＝，

5k－133故tan α＝，又α＝αl－45°，由两角差的正切公式，得＝，解得k＝7. 41＋k4