1.4.3 含有一个量词的命题的否定PPT专用教学设计内容

1.4.3含有一个量词的命题的否定

开江县普安中学 熊承燕

教学目标：

利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用.

教学重点：

全称量词与存在量词命题间的转化；

教学难点：

隐蔽性否定命题的确定；

课 型：

新授课

教学手段：

多媒体

教学过程：[来源

一、复习回顾

:21世纪教育全称命题P： xM,有P（x）成立; 存在性命题P：xM，使P（x）成立；

判断全称命题和特称命题真假

要判定全称命题“ x∈M, p(x) ”是真命题，需要对集合M中每个元素x, 证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x,使得p(x)不成立，那么这个全称命题就是假命题

00要判定特称命题

“ x∈M, p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x,使0p(x)成立即可，如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，则特称命题是假命题

0二、创设情境

数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等

与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“

”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，pq,pq都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。

三、活动尝试

问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。

（1）所有的人都喝水；

（2）每一个素数都是奇数；

（3）xR，∣a∣≥0 分析：（1）xM,p(x)，否定：存在一个人不喝水；xM,p(x)

（2）xM,p(x)，否定：存在一个素数不是奇数；xM,p(x)

（3）xM,p(x)，否定：xR，∣a∣<0；xM,p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题. 含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论：

全称命题p：xM,p(x)

它的否定p:xM,p(x)

四、师生探究

问题2：写出命题的否定

（1）存在有理数，使 x220（2）有些实数的绝对值是正数。

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

结论：从命题形式上看，这三个特称命题的否定都变成了全称命题. 含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论：

特称命题p：xM,p(x) 它的否定p:

xM,p(x)

牛刀小试

1．(2012·安徽文，4)命题“存在实数x，使x>1”的否定是(

) A．对任意实数x，都有x>1

B．不存在实数x，使x≤1

C．对任意实数x，都有x≤1

D．存在实数x，使x≤1

[答案]

C [解析]

特称命题的否定为全称命题．

“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”

2．(2014·安徽文，2)命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(

) A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0 C．∃x0∈R，|x0|＋x20<0 D．

∃x0∈R，|x0|＋x20≥0 [解析]

全称命题的否定为特称命题，“≥”的否定为“<”．“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是∃x0∈R，|x0|＋x20<0. 3．(2013·四川文，4)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则(

) A．¬p：∃x∈A,2x∈B B．¬p：∃x∉A,2x∈B C．¬p：∃x∈A,2x∉B D．¬p：∀x∉A,2x∉B [答案]

C [解析]

本题考查全称命题与特称命题的转化问题．

由命题p：∀x∈A,2x∈B得¬p：∃x∈A,2x∉B. 4．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则(

) A．¬p：∀x∈R，sinx≥1

B．¬p：∃x∈R，sinx≥1

C．¬p：∀x∈R，sinx>1 D．¬p：∃x∈R，sinx>1 [答案]

D [解析]

将“∀”改为“∃”，将“≤”改为“>”即可．

五、例题讲解

例1.写出下列命题的否定．

(1)p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；

(2)p：有的三角形是等边三角形；

(3)p：所有能被3整除的整数是奇数；

(4)p：每一个四边形的四个顶点共圆．

[解析]

(1)¬p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0. (2)¬p：所有的三角形都不是等边三角形．

(3)¬p：存在一个能被3整除的整数不是奇数．

(4)¬p：存在一个四边形的四个顶点不共圆．

[方法规律总结]

1.一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．

2．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．

练习：写出下列命题的否定．

(1)p：∀x>1，log2x>0；

(2)p：∀a，b∈R，a2＋b2>0；

(3)p：有的正方形是矩形；

(4)p：∃x0∈R，x20－x0＋2>0

[解析]

(1)¬p：∃x0>1，log2x0≤0. (2)¬p：∃a、b∈R，a2＋b2≤0. (3)¬p：任意一个正方形都不是矩形．

(4)¬p：∀x∈R，x2－x＋2≤0. 【例2】

写出下列命题的否定并判断其真假：

(1)所有末位数字是5的整数都能被5整除；

(2)每一个非负数的平方都是正数；

(3)存在一个三角形，它的内角和大于180°；

(4)有的四边形没有外接圆；

(5)某些梯形的对角线互相平分．

思路点拨：先转化为“标准的”特称或全称命题，再对关键词语进行否定．

【解析】

(1)存在一个末位数字是5的整数不能被5整除，假命题．

(2)存在一个非负数的平方不是正数，真命题．

(3)任何一个三角形，它的内角和不大于180°，真命题．

(4)所有四边形都有外接圆，假命题．

(5)所有梯形的对角形都不互相平分，真命题．

方法点评：全(特)称命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定．从命题形式看，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．

六、小结

含有一个量词的命题的否定

一般地，我们有：“,

xM,p(x)”的否定为“xM,p(x)”“xM,p(x)”的否定为“xM,p(x)”。

结论：全称命题的否定是特称命题

特称命题的否定是全称命题

六、作业：习题 A组 3，B组