3.1.3 导数的几何意义ppt配套的教案及板书设计

1.1.3 导数的几何意义

【教学目标】

知识与技能目标：通过复习旧知“求导数的两个步骤”以及“平均变化率与割线斜率的关系”，解决了平均变化率的几何意义后，明确探究导数的几何意义可以依据导数概念的形成寻求解决问题的途径。在此基础上，通过例题和练习使学生学会利用导数的几何意义解释实际生活问题，加深对导数内涵的理解。在学习过程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的数学思想方法。

过程与方法目标：学生通过观察感知、动手探究，培养学生的动手和感知发现的能力。

学生通过对圆的切线和割线联系的认识，再类比探索一般曲线的情况，完善对切线的认知，感受逼近的思想，体会相切是种局部性质的本质，有助于数学思维能力的提高。

情感、态度、价值观：

通过在探究过程中渗透逼近和以直代曲思想，使学生了解近似与精确间的辨证关系；通过有限来认识无限，体验数学中转化思想的意义和价值；

在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会，如：探究活动，让学生自主探究新知，例题则采用练在讲之前，讲在关键处。在活动中激发学生的学习潜能，促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。

【教学重点与难点】

重点：理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义及应用于解决实际问题，体会数形结合、以直代曲的思想方法。

难点：发现、理解及应用导数的几何意义。

一、创设情境、导入新课

前面我们学习了函数在xx0处的导数f(x0)就是函数在该点处的瞬时变化率。

．．．．．fxxf(x0)（1）求导数f(x0)的步骤有：第一步：求平均变化率y0；

xx

fxxf(x0)第二步：求瞬时变化率f(x0)lim0. x0x（即x0，平均变化率趋近于的确定常数就是该点导数）

．．．．．．．．(2)

观察函数yf(x)的图象，平均变化率yyfx0xf(x0)

在图形中表示什xx么？

fx2fx1yfxfx2fx1x2x1Ox1x2x回答：平均变化率表示的是割线PPn的斜率.

图1.11（老师引导学生回忆联系本节课的旧知识，下面探究导数的几何意义也是依据导数概念的形成，寻求解决问题的途径。教师板书，便于学生数形结合探究导数的几何意义。）

二、引导探究、获得新知

yy思考1：这就是平均变化率()的几何意义，那么瞬时变化率()在图lim．．．．．．．．．．．．x0xx中又表示什么呢？今天我们就来探究导数的几何意义。

思考2：什么是切线？

1.动画类比，得到切线的新定义

要研究导数的几何意义，结合导数的概念，即要探究x0，割线的变化趋势，

．．．．．．．分析：若圆上点A处的切线AT和割线AB，演示点B从右边沿着圆逼近点A ,然后再从左边沿着圆逼近点A ，即x0，割线AB的变化趋势。教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系呢？

（先感知后发现，当x0，随着点B沿着圆逼近点A，割线AB无限趋近于点A处的切线。）把割线逼近切线的结论从圆推广到一般曲线，可得：

多媒体显示：动态演示教材上点Pn(x0x,f(x0x))沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时，割线PPn的变化趋势图。

学生观察：类比得出一般曲线的切线定义：

当点Pn(x0x,f(x0x))沿着曲线f(x)逼近点P(x0,f(x0))时，即x0，

割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT称为点P处的切线。

突破研究的难点：x0，割线PPn点P处的切线

切线的斜率对应该点处的瞬时变化率，即该点处的导数。

2.结合上面的研究过程，你能指出导数f(x0)的几何意义吗？

函数f(x)在xx0处的导数就是曲线在该点处的切线斜率k，即：klimx0fx0xf(x0)f(x0)

x3.在上面的研究过程中，某点处的割线斜率与切线斜率与某点附近的平均变化率和瞬时变化率有何联系？

x0瞬时变化率

平均变化率x0切线的斜率

割线的斜率由导数的几何意义，我们可以解决哪些问题？

1、已知某点处的导数或者切线的斜率可以求另外一个量。

2、k0，则切线呈上升趋势；k0，则切线呈下降趋势。由切线的变化趋势可以得出切线的斜率情况，也即该点处的导数情况。

¢3、故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:y-f(x0)=f(x0)(x-x0)

三、知识应用、巩固理解

例1. 如图，它表示跳水运动中高度随着时间的变化的函数的图像.据图回答问题.请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况. 解我们用曲线hx在t0,t1,t2处的切线,刻画曲线ht在上述三个时刻附近的变化情况.hl0l11当tt0时,曲线ht在t0处的切线l0平行于t轴.所以,在tt0附近曲线比较平坦,几乎没有升降.Ot0t1t2l2t图1.132当tt1时,曲线ht在t1处的切线l1的斜率h't10.所以,在tt1附近曲线下降,即函数ht在tt1附近单调递减.3当tt2时,曲线ht在t2处的切线l2的斜率h't20.所以,在tt2附近曲线下降,即函数ht在tt1附近也单调递减.

从图1.1-3可见,直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度,这说明曲线h(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢.例2:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. 解:klimf(x0x)f(x0)x0x2(1x)1(11)limx0x2x(x)2lim2.x0x

因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x. 求切线方程的步骤：

练习.(1)求函数y=x2在x1处的切线方程；(2)求函数y=x在xx0处的切线方程.13（3）.求与直线x4y8=0垂直，且与曲线yx相切的直线方程。3

例3.判断：切线的斜率一定存在（ ）

1例4.已知yf(x)在[0，内的图象如下，求3]f()，f().2y

2O13x

六、归纳总结、深化认识

这节课我们学习了哪些知识和方法？

学生进行开放式小结：（回顾学习的两个知识和数学思想方法）

(1)切线的定义：当点Pn(x0x,f(x0x))沿着曲线f(x)逼近点P(x0,f(x0))时，即x0，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT称为点P处的切线。

(2)函数f(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义就是函数f(x)的图象在xx0处的切线的斜率。

数学思想方法：体会“数形结合”的思想方法、逼近的思想方法、“以直代曲”的思想方法。