习题1.1名师教学实录

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青云中学

03/07/2019 课题：空间几何体的外接球（教师版）

佛山市顺德区青云中学范友宝

一、回顾高考

1.

近几年全国卷与空间几何体外接球有关的试题

（2010全国新课标I卷理科，第10题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（

）

711A.a2

B.a2

C.a2

D.5a2

33（2011全国新课标I卷理科，第15题）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB6,BC23，则棱锥OABCD的体积为_______.

（2012全国新课标I卷理科，第11题）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为（

）

A.2322

B.

C.

D.

6632（2015全国新课标Ⅱ卷理科，第9题）已知A,B是球O的球面上两点，AOB900，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（

）

A.36

B.64

C.144

D.256

（2017全国新课标Ⅲ卷理科，第8题）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球面上，则该圆柱的体积为（

）

A.

B.3

C.

D.

424（2018全国新课标Ⅲ卷理科，第10题）设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球ABC为等边三角形且其面积为93，面上四点，则三棱锥DABC体积的最大值为（

）

A.123

B.183

C.243

D.543

近几年新课标全国卷空间几何体外接球试题在考查题型、考查载体、考查能力、解题方法等方面呈现怎样的特征? 1

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03/07/2019 2.试题特点

近几年与空间几何体外接球有关的高考题，需要学生能够确定球的半径或者确定球的球心位置，其中球心的确定是关键，考查学生的空间想象能力，运用体和球之间的主要位置关系和数量关系，从而把空间问题化为平面问题，进而运用平面几何的知识寻找球半径的解法. 二、讲授新课

我们先来认识第一种模型：长方体模型.长方体外接球的球心在哪里？外接球的半径如何计算？

点评：1.长方体体对角线的中点就是长方体外接球的球心，即2Ra2b2c2（a,b,c分别是长方体的长、宽、高；R是长方体的外接球的半径）

如图，在长方体ABCDA1BC11D1中，还有哪些几何体可以通过补形为长方体确定外接球的球心？

2.墙角模型：找三条两两垂直的线段，补形为长方体，直接运用公式2Ra2b2c2. PPPPcAaBbCcCAbaBAbaBcCcBaAbC图1-1 图1-2 图1-3 图1-4

例1：（必修2教材P28第2题）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a,则球的体积是________________. 变式1：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为______________. 变式2：若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为1，则其外接球的表面积_______. 2

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03/07/2019 接下来，我们来认识第二种模型：圆柱的、直三棱柱的外接球模型，大家看，像不像我们平时吃的汉堡包？我们可以把这种模型定义为“汉堡模型”。请大家思考：圆柱的外接球球心在哪里？为什么？外接球的半径如何计算？直三棱柱的外接球球心呢？它的外接球与外接圆柱体的球心一样吗？

点评：1.直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球. 2.汉堡模型（直棱柱、圆柱、有一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球）：确定球心O的位置，设小圆圆心为O1，则R2r2OO12（其中r是小圆半径）

图2-1 图2-2 例2：已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球面上，则该圆柱的体积为（

）

A.

B.3

C.

D.

424变式1：（2009大纲卷I卷）直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若ABACAA12,BAC1200，则此球的表面积等于___________ 变式2：（2018顺德二模）已知三棱锥PABC的底面ABC是边长为2的等边三角形，PA平面ABC，PA2，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）

A.68288

D. B.20

C.4

333

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03/07/2019 接下来，我们研究有点思维含量的第三种模型：锥体模型.首先，大家思考以下两个问题：

【问题1】侧棱长都相等的棱锥，其顶点在底面的投影在哪儿？

【问题2】侧棱长都相等的棱锥，其外接球的球心在哪？外接球的半径如何计算？

点评：侧棱长都相等的棱锥顶点在底面的投影是底面外接圆的圆心；外接球球心在其高上. 例3：（2014全国大纲卷）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是( ) A.8127 B.16 C.9 D.44

变式1：设A,B,C,D是同一个半径为4的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC体积的最大值为（

）

A.123

B.183

C.243

D.543

【问题3】侧面垂直于底面的几何体，如何确定外接球的球心？外接球半径如何计算？

点评：锥体模型：侧面垂直于底面的几何体，先确定两个面的外心，构造一个矩形，a或者直接运用公式Rrr（其中a为两个面相交的公共弦长）.

2221222

4

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03/07/2019 变式2：如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为________．

【问题4】根据三视图，确定其中一个侧面与底面的关系是？

三、课堂小结

1.熟悉求空间几何体外接球的主要方法：补形法、定心法

2.掌握三种模型：长方体模型、汉堡模型、锥体模型，熟知每种模型运用的方法.

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