小结教学实录与评析

高2018届二轮复习学案（文科数学）

问题与解题策略专题

圆锥曲线选择、填空题的解答策略

学习目标：通过本节课的学习①若你对所涉及知识与方法都熟悉，则应加以巩固，争取以后解题时更加应用自如；②若你对所涉及知识与方法不熟悉，则应加以熟悉，争取以后解题时能够应用。

学习过程：

一、问题探究

问题1 （2016年全国卷Ⅱ，5，文）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=⊥x轴，则k=（

D

）

k（k>0）与C交于点P，PF x13 B.1

C. D.2 22k解：由题意易得点P的坐标为(1,2)，代入y，得k2. xA.

问题2 x2y2（2016年全国卷Ⅲ，11，理）已知O为坐标原点，F是椭圆C：221(ab0)的左焦点，A，

abB分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交

于点E. 若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ A ）

A. 1123B.C. D.

3

2

3

4解：设MB与y轴的交点为N，则N是OE的中点，有AMFAEO，得FMAFac；

OEAOaBONe

问题3 1OEONOB1acaBFM，得，即2，两式作乘法运算，有，整理得

MFBF2acFMacc1，故选A. a3x2y2B两点，1的右焦点的直线l交抛物线y24x于A，经过椭圆点A关于y轴的对称点为C，43则OBOC__________.

1

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解：由题可设直线为xmy1，与y24x联立，得y24my40.则y1y24，从而2y12y2x1x21.又C(x1,y1)，所以OBOCx1x2y1y25. 44

该解法即坐标法，不算困难.但如果依据题意，将直线l特殊化为x轴的垂线，则直接得A(1,2)，B(1,2)，C(1,2)，于是OBOC1(1)(2)25，岂不更简单！

（解选填题的特殊方法）

问题4 （2014年全国卷Ⅱ，10，文）设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且斜率为3的直线交C于A，3B两点，则AB（

C ）

A. 30B. 6

C.12 D.73

3

2p(是直线的倾斜角），得AB12，选C. 2sin解：根据抛物线的焦点弦长公式AB

二、方法小结

1.牢固掌握“坐标法”

“坐标法是以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法，它是解析几何中最基本的研究方法”（必修2第三章引言），这里面一般会涉及坐标、函数、方程、不等式、计算公式等具有“代数运算”特征的知识，如问题1的解法.

2.重视应用“数形结合”

即依据圆锥曲线的定义、几何性质，以及其中涉及到的（平面）几何知识（主要是三角形、圆等），利用图形直观，分析图形特征，注重从图形角度解答数学问题.有时数形结合可以完整解决某问题，有时则只是一个转化、辅助的手段，使运算变得更容易或更简单.

3.适当利用“拓展知识”

2

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圆锥曲线中有许多课本外的重要结论，如焦点三角形、焦半径、弦长公式等（特别是抛物线，有更多的特殊性），对解题有积极作用，应尽可能去积累、掌握并合理使用.

4.合理使用选填题的特殊解法

选择题多了“选项信息”，填空题不需要解答过程，这些都为“特殊方法”的应用提供了条件，因此可合理使用这些特殊方法，如特例法、估算法（极限法）等.

三、巩固练习

1.（2013年全国卷Ⅱ，10，文）设抛物线C:y24x的焦点为F，直线l过F且与C交于A, B两点.若|AF|=3|BF|，则l的方程为（ C ）

A.yx1或yx1 B.y33(x1)或y(x1)

3322(x1)或y(x1)

22C.y3(x1)或y3(x1) D.y解：作准线，再过点A，B分别作准线的垂线，垂足为M，N，过点B作AN的垂线，垂足为H，根据已知，结合抛物线定义不难得AB2AH，从而BAH60，即直线AB的倾斜角为60（或120，对称性），故选C.

2.（2017年全国卷Ⅲ，10，理）已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，

l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则ABDE的最小值为（ A ）

A.16 B.14 C.12 D.10

解：依题可设直线方程分别为yk(x1)，y1(x1)，将yk(x1)与y24x联立可得k4k2x2(2k24)xk20，根据弦长公式得AB42（更好方案是利用特殊弦长公式k1ABx1x2p），同理可得DE44k2（特殊方法是在AB的表达式里用替换k），则k1ABDE84(k22)8816，即k1时取等号，故ABDE的最小值为16，选A.

k3

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上述解法有一定的过程和计算量，需要较多时间.如果借助结论：111（条件同题），ABDE2p则直接得ABDE4(ABDE)(11)，展开后由基本等式就可解决了.

ABDEx2y23.（2017年全国卷Ⅲ，10，理）已知椭圆C：221，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，

ab且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为（ A ）

A．6 3

B．3

3

C．222

32

D．1

3解：坐标法.以线段A1A2为直径的圆是xya，直线bxay2ab0与圆相切，所以圆心到c22直线的距离da，整理为a3b，即a3ac2a3c，即2，22a3ab2ab2222222e

c6，故选A. a3x2y24.（2017年全国卷Ⅰ，15，理）已知双曲线C：221(a0,b0)的右顶点为A，以A为圆

ab心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若MAN60，则C的

离心率为________. 解：坐标法.取渐近线ybaa0b323x，b，由题意及点线距离公式，得整理得离心率为. 22a23ba5.（2017年全国卷Ⅱ，16，理）已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M为FN的中点，则FN________. 解：数形结合.在FON中，由中位线得MH1（MNx轴，H为垂足），再结合抛物线定义，

得FM3，所以FN6.（也可以用坐标法）

6.（2017年全国卷Ⅱ，12，文）过抛物线C:y4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M（M在2x轴上方），l

为C的准线，点N在l上且MNl,则M到直线NF的距离为（ C ）

4

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A.5 B.22 C. 23 D. 33

解：由题知MF:y3(x1)，与抛物线y24x联立得3x210x30，解得x11,x23所3以M(3,23)，因为MNl，所以N(1,23)，因为F(1,0)，所以NF:y3(x1)，所以M到NF的距离为|3(31)23|(3)12223. 7. 已知F为抛物线C：y22px(p0)的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则11（ D ）

ABDEA.p121 B. C. D.

2pp2p 解：极限法.当l1趋近于抛物线的“通径”时，l2趋近于x轴，此时AB2p，DE，所以

111，选D. ABDE2p

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