习题2.3教学实录与评析

高中数学必修二《将空间中的平行、垂直问题转化为代数问题》教学设计

——几何问题代数化初探（第一课时）

高中数学教研组 张博

一、【教材分析与学情分析】

《将空间中的平行、垂直问题转化为代数问题》是普通高中课程标准实验教科书必修二第三章的拓展内容，几何问题代数化思想是坐标法的思想本质，也是我国古代数学应用思想的体现；等价转化的思想是高中重要的数学思想和方法，向量作为工具是研究几何问题代数化的基础，是提升立体几何能力的又一突破口．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力、类比分析的能力和等价转化的能力，而且学生能把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究解析几何和立体几何的其它性质打下基础．所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用．

本班（文科）学生已经完整学习了立体几何平行、垂直判定和性质定理理论，会在空间直角坐标系中求已知点的坐标，能运用数乘向量和向量的数量积认识空间向量的关系；有笛卡尔坐标系建立后的直线和圆的认识，具备一定的几何问题代数化的知识基础和实践基础。

二、【教学目标】 1.知识与技能

（1）掌握面面、线面的平行垂直位置关系转化线线平行、垂直的位置关系，进而在转化为向量问题代数化解决的方法. （2）会求已知平面的法向量的坐标. （3）了解几何问题代数化是有效解决数学问题的一种思想和方法. 2.过程与方法

从中国古代数学和学生生活实际的出发，提供几何问题代数化的丰富实例，通过对线线、线面平行与垂直关系转化为向量问题的自主学习，从而掌握简单立体几何问题代数化的途径和方法. 3.情感、态度与价值观

中国古代数学源远流长，古代数学算法的思想来源于生活，学生体会数学是有用的、数学是有趣的．体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想和转化的思想；学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力. 三、【教学重、难点】

重点：将空间中的平行、垂直关系转化为向量平行、垂直关系进而实现简单的立体几何问题代数化. 难点：求已知平面的法向量. 四【课时安排】（本课共2课时）

五、教与学流程：

1.核心问题：如何将空间中的平行、垂直问题转化为代数问题，进而实现简单的立体几何问题代数化？

2.子问题群序列一：如何将空间中的线与线的平行、垂直问题转化为代数问题？

（1）如何将向量平行、垂直问题转化为代数问题？

（2）如何将空间中线与线平行、垂直问题是转化成向量平行、垂直问题？

（3）如何将空间中线与面垂直问题转化向量平行、垂直问题？

（4）由（3）引入自主学习，回答什么平面的法向量，法向量之间的关系是什么？

（5）如何求已知平面的法向量坐标？

3.子问题序列二：如何平面的法向量将空间中的线与面平行、面与面的平行、垂直问题转化为向量问题进而实现简单的立体几何问题代数化？

（6）如何将空间中线与面平行问题转化向量问题？

（7）如何将空间中线与面垂直问题转化向量问题？

（8）如何将空间中面与面平行问题转化向量问题？ （9）如何将空间中面与面垂直问题转化向量问题？

4.教与学活动：

利用多媒体技术，结合几何问题代数化这个核心问题，采用自主建构—发现模式

（一）创设问题情境，设计核心问题 时长：7

（1）教师引入，

2000年中国科学奖获得者吴文俊故事，从数学史的角度看中国数学算法思想对计算机数学的影响。引入用坐标法使用向量作为工具解决立体几何中的平行、垂直问题实现几何问题代数化. （2）教师：创设问题情境，设计核心问题

现代媒体：展示本节课核心问题与子问题群序列一

学生：展开学生自主活动序列一,小组讨论解决问题（1）（2）（3）.结合核心问题与子问题群，自学学案，自主探究，自主认知问题

（二）提出学习目标，营造认知环境 时长：10 教师：提出学习目标，巡回解答学生认知困惑

电子白板使用，改善认知环境，营造思维场景，形成解决问题的策略和方法. 学生：展开学生自主活动序列二，小组讨论解决问题（3）（4）. （三）设计运用例题与辨析练习，自主深化与整合几何中的平行垂直问题代数化解决方法。 时长：15

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教师：巡回发现学生问题，矫正学生问题

学生：展开学生自主活动序列三，解决问题（5）（6）（7）及例2. (四）梳理知识结构，完善知识及应用 时长：8

学生：展开学生自主活动序列四，所学知识提高巩固，总结本课知识点和所用的数学思想与方法。

五、【板书设计】

简单的几何问题代数化

向量数量积运算

求平面的法向量步骤

六、【教学反思】

求法向量的解答过程（学生）

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