1.2.2 充要条件名师教学视频（文字实录）

1.2.2

充要条件

明目标、知重点

1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假．

充要条件：

一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p就记作p⇔q. 此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．

概括地说，如果p⇔q，那么p与

q互为充要条件．

探究点一

充要条件的判断

思考1

已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数．

请判断：

p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？

答

p是q的充分条件，p是q的必要条件．

小结

p⇒q，故p是q的充分条件；

又q⇒p，故p是q的必要条件．

此时，我们说，p是q的充分必要条件

思考2

说说你对充要条件的理解．

答

我们可以从以下三个方面理解充要条件：

(1)若p⇔q，则p、q互为充要条件；

(2)p是q的充要条件意味着“p成立，则q必成立，p不成立，则q必不成立．”

(3)“p是q的充要条件”也说成“p等价于q”“q当且仅当p”等．

例1

下列各题中，哪些p是q的充要条件？

(1)p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；

(2)p：x>0，y>0，q：xy>0；

(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c；

(4)p：x>5，q：x>10；

(5)p：a>b，q：a2>b2. 分析

要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p.

解

命题(1)和(3)中，p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，故p是q的充要条件；

命题(2)中，p⇒q，但qD/⇒p，故p不是q的充要条件；

命题(4)中，pD/⇒q，但q⇒p，故p不是q的充要条件；

命题(5)中，pD/⇒q，且qD/⇒p，故p不是q的充要条件．

反思与感悟

判断p是q的什么条件，最常用的方法是定义法，另外也可以使用等价命题法或集合法．

跟踪训练1

(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是(

) A．ab＝0

C．a2＋b2＝0

答案

D 解析

a2＋b2>0，则a、b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0. (2)x>2的一个必要不充分条件是__________；x＋y>0的一个充分不必要条件是________________．

答案

x>0

x>0且y>0(答案不惟一) (3)“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是____________________________．

答案

a<－1 解析

函数没有零点，即方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根，即函数没有零点．

探究点二

有关充要条件的证明或求解

思考

如何证明充要条件？

答

分清充分性和必要性．

例2

已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．

分析

设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性(p⇒q)和必要性(q⇒p)即可．

证明

B．ab>0 D．a2＋b2>0

如图所示，作OP⊥l于点P，则OP＝d. (1)充分性(p⇒q)：若d＝r，则点P在⊙O上．在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ.在Rt△OPQ中，OQ>OP＝r.所以，除点P外，直线l上的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P.因此，直线l与⊙O相切．

(2)必要性(q⇒p)：若直线l与⊙O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l.因此，d＝OP＝r.

反思与感悟

一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q. 跟踪训练2

求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．

解

①当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；

②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a<0；

若方程有两个负的实根，

则必须满足1－<0，aΔ＝1－4a≥01>0，a

1⇒0

41因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤. 4

1．“x2>2 013”是“x2>2 012”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

A 解析

由于“x2>2 013”时，一定有“x2>2 012”，反之不成立，所以“x2>2 013”是“x2>2 012”的充分不必要条件．

2．设{an}是等比数列，则“a1

) A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

C 解析

{an}为等比数列，an＝a1·qn1，由a10，q>1或a1<0,0

D．既不充分也不必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

则数列{an}为递增数列．反之也成立．

3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是(

) A．m＝－2

B．m＝2

C．m＝－1

D．m＝1 答案

A 解析

当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以f(x)

＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2. 4．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是(

) 1A．x＝－

B．x＝－1

C．x＝5

D．x＝0 2答案

D 解析

根据平面向量数量积的坐标运算及垂直的条件求解．

∵a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，

∴a·b＝2(x－1)＋2×1＝2x. 又a⊥b⇔a·b＝0，∴2x＝0，∴x＝0. 5．已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝________. 答案

－1 解析

由1×3－a×(a－2)＝0得a＝3或－1，

而a＝3时，两条直线重合，所以a＝－1. [呈重点、现规律]

1．充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法．

2．充要条件的证明与探求

(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明．在证明时要注意两种叙述方式的区别：

①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；

②p的充要条件是q，则p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．