3.1.3 导数的几何意义优质课教案内容

3.1.3导数的几何意义

【教学目标】

知识与技能目标：

（1）使学生掌握函数f(x)在xx0处的导数f/x0的几何意义就是函数f(x)的图像在

（数形结合），即：

xx0处的切线的斜率。f/x0limx0fx0xf(x0)＝切线的斜率

x(2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。

过程与方法目标：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。

【教学手段】采用计算机（Flash,Powerpoint），实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。

【教学重点与难点】

重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。

难点：发现、理解及应用导数的几何意义

【教学过程】

（一）作业点评，承上启下： 问题：在高台跳水运动中，t秒(s)时运动员相对于水面的高度是，求运动员在t1s时的瞬时速度，并解释此时的运h(t)4.9t26.5t10（单位：m）动状态；在t0.5s时呢？

教师点评作业的优点及不足；由学生甲解释t1s，t0.5s时运动员的运动状态。

（说明：实例引入，承上启下，有效铺垫，直接过渡）

（二）课题引入，类比探讨：

由导数的物理意义是瞬时速度，我们知道了导数的本质。

●问（一）：导数的本质是什么？写出它的表达式。

学生活动：在“学生动手实践”中，学生写出：

导数f/(x0)的本质是函数f(x)在xx0处的瞬时变化率，即：

f/x0limx0fx0xf(x0)

x●

问（二）：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角度来探究导数的几何意义，应从哪儿入手呢？

教师引导学生：数形结合是重要的思想方法。要研究“形”，自然要结合“数”：

即：导数的代数表达式，并回忆求导数f(x0)的步骤。

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1

●

问（三）求导数f/(x0)的步骤有哪几步?

教师引导学生回答：

第一步：求平均变化率f(x0x)f(x0)；

xf(x0x)f(x0)无限趋近于的常数就是x第二步：当x趋近于0时，平均变化率（回归本质，数形结合）

f/(x0)。教师进一步引导学生：这是从“数”的角度来求导数，若从“形”的角度探索导数的几何意义，类比地，也可以分两个步骤：

●问（四）：第一步：平均变化率f(x0x)f(x0)的几何意义是什么？

x请在函数图像中画出来；

学生动手活动：见“学生动手实践”。

由学生乙回答：平均变化率f(x0x)f(x0)的几何意义是割线AB的斜率。

xA(x0,f(x0)),B(x0x,f(x0x))。教师提醒学生A、B两点的坐标必须写清楚。

●问（五）：第二步：x0时，割线AB有什么变化？请画出来。

学生动手活动：见“学生动手实践”。

教师展示学生作品，引导学生观察：类比数的变化：

x0，B(x0x,f(x0x))A(x0,f(x0)),

当x0，割线AB有一个无限趋近的确定位置，这个确定位置上的直线叫做曲线在xx0处的切线，请把它画出来。

学生动手活动：见“学生动手实践”。

教师展示学生作品，

引导学生发现，并说出：

（形）x0，割线AB切线AD，

则割线AB的斜率切线AD的斜率

由数形结合，得

f/x0limx0fx0xf(x0)＝切线AD的斜率

x/所以，函数f(x)在xx0处的导数fx0的几何意义就是函数f(x)的图像在xx0处的切线AD的斜率。（数形结合）。

（说明：动手实践，探索发现。使学生经历探究“导数的几何意义”的过程以获得理智和情感体验，建构“导数及其几何意义”的知识结构，准确理解

“导数的几何意义”，掌握“数形结合，类比探讨”的数学思想方法。）

2

（三）

动画演示，总结归纳

1．演示Flash动画，将同学们画图、思考、数形结合的过程展示出来。

2．

教师提问：此处切线定义与以前学过的切线定义有什么不同？展示Powerpoint动画。

3．根据导数的几何意义，在点P附近，曲线f(x)可以用在点P处的切线

近似代替，这是微积分中重要的思想方法——以直代曲（以简单的对象刻画复杂的对象）。（动画演示：通过信息技术将函数曲线某一点附近的图象放大得到一个近景图，图象放得越大，这一小段曲线看起来就越象直线；大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”）

（四）训练巩固、加强理解：

1．在函数h(t)4.9t26.5t10的图像上，（1）用图形来体现导数h/(1)3.3，（2）请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2h/(0.5)1.6的几何意义，并用数学语言表述出来。附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在t3,t4附近呢？

2．如图表示人体血管中的药物浓度cf(t)（单位：mg/mL）随时间t（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计t0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。(精确到0.1)

t

药物浓度的

瞬时变化率

0.2

0.4

0.6

0.8 （说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率），进一步体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。）

（五）抽象概括，归纳小结：

1．抽象概括：由练习2抽象概括出导函数（简称导数）的概念：

f//，fx是x的函数（动态）

x0是确定的数（静态）

3

由f/x0limx0/fx0xf(x0)（特殊——一般）

xx

ffxxf(x)xlim（静态——动态）

x0（说明：体验从静态到动态的变化过程，领会从特殊到一般的辩证思想

2．归纳小结：

由学生进行开放式小结：

（1）函数f(x)在xx0处的导数f/x0的几何意义就是函数f(x)的图像在

（数形结合），即：

xx0处的切线AD的斜率。f/x0limx0fx0xf(x0)＝切线AD的斜率

xfxxf(x)xlim

x0x（2）利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。

（3）导函数（简称“导数”）的概念。f（六）作业布置，分层要求：

1．习题P10A5,6.B2,3.

2．如图表示人体血管中的药物浓度cf(t)（单位：mg/mL）随时间t（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计t0.2,0.4,0.6,0.8(min)时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)，把数据用表格的形式列出。

(七）教学反思：

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