1.2.3 空间几何体的直观图课堂实录及点评

1．2.3

空间几何体的直观图

学习目标

1.掌握斜二测画法的作图规则；2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图．

知识点

斜二测画法

思考1

边长2 cm的正方形ABCD水平放置的直观图如下，在直观图中，A′B′与C′D′有何关系？A′D′与B′C′呢？在原图与直观图中，AB与A′B′相等吗？AD与A′D′呢？

1答案

A′B′∥C′D′，A′D′∥B′C′，A′B′＝AB，A′D′＝AD. 2思考2

正方体ABCD－A1B1C1D1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？

答案

没有都画成正方形．

1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则

2．立体图形直观图的画法规则

画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于

O′z′的线段长度不变，其他同平面图形的画法．

类型一

水平放置的平面图形的画法

例1

用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图．

解

(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．

(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°. 1在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝OA，连接A′B′，2A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．

反思与感悟

此类问题的解题步骤是：建系、定点、连线成图．要注意选取恰当的坐标原点，能使整个作图变得简便．

跟踪训练1

将例1中三角形放置成如图所示，则直观图与例1中的还一样吗？

解

(1)如图①所示，以BC边所在的直线为y轴，以BC边上的高AO所在的直线为x轴．

(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°. 1在x′轴上截取O′A′＝OA，在y′轴上截取O′B′＝O′C′＝OC＝1 cm，连接A′B′，2A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．

显然与例1中的既不全等也不相似．

类型二

简单几何体的直观图

例2

已知某几何体的三视图如图，请画出它的直观图(单位：cm)．

解

画法：(1)如图1，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)以O为原点，在x轴上取线段OB＝8 cm，在y轴上取线段OA′＝2 cm，以OB和OA′为邻边作平行四边形OBB′A′. (3)在z轴上取线段OC＝4 cm，过C分别作x轴、y轴的平行线，并在平行线上分别截取CD＝4 cm，CC′＝2 cm.以CD和CC′为邻边作平行四边形CDD′C′. (4)成图．连接A′C′，BD，B′D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到几何体的直观图(如图2)．

反思与感悟

直观图中应遵循的基本原则：

(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段；

1(2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的. 2(3)直观图画法口诀“一斜、二半、三不变”．

跟踪训练2

已知几何体的三视图如左图所示，用斜二测法画出它的直观图．

解

如图，(1)画轴．画x轴、y轴、z轴，三轴交于O点，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.

(2)画底面．以O点为中心点，在x轴上取线段MN，使它等于俯视图的长，在y轴上取线段PQ等于俯视图宽的一半，分别过M，N作y轴的平行线，过P，Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为：A，B，C，D，则四边形ABCD是长方体的下底面．

(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在平行线上分别截取AA1，BB1，CC1，DD1等于正视图中相应棱柱的高OO1，顺次连接A1，B1，C1，D1得长方体的上底面．

(4)以长方体的上底面和z轴的交点O1为坐标原点，作x轴的平行线x1轴，交A1D1于M1，交B1C1于N1，选择椭圆模板中适当的椭圆过M1，N1两点使它为圆柱的下底面．

(5)在z轴上截取点O1，使O1O2等于正视图中圆柱的高，过点O2作平行于x轴的轴x′，

类似步骤(4)作出圆柱的上底面．

(6)成图．连线并去掉辅助线，将被遮住部分改为虚线，就得到由三视图反映的简单几何体的直观图，如图所示．

类型三

直观图的还原和计算问题

例3

如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，2A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1. 3

试画出原四边形的形状，并求原图形的面积．

解

如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝

O′D1＝1，OC＝O′C1＝2. 在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2. 在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2. 连接BC，即得到了原图形．

由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2. 2＋3所以面积为S＝×2＝5. 2反思与感悟

由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．

由此可得：直观图面积是原图形面积的2倍．

4跟踪训练3

已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为(

) A.3236a

B.a2

C.a2

D.6a2

242答案

C 解析

画△ABC直观图如图(1)所示：

则A′D′＝36a，又∠x′O′y′＝45°，∴A′O′＝a. 22画△ABC的实际图形，

如图(2)所示，

AO＝2A′O′＝6a，BC＝B′C′＝a，

16∴S△ABC＝BC·AO＝a2. 22

1．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的(

)

答案

C 解析

正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1. 2．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为(

) A．16

C．16或64

答案

C 解析

等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64. 3．已知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间B．64 D．无法确定

的距离为(

) A．2 cm

B．3 cm

C．2.5 cm

D．5 cm 答案

D 解析

圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm.故选D. 4.如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，则△ABC是______三角形．

答案

直角

解析

∵A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，

∴在原图形中，AB∥y轴，BC∥x轴，

故△ABC为直角三角形．

5.如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形．

解

(1)在已知图形中画坐标系x′O′y′，

使∠x′O′y′＝45°，

使C′A′在x′轴上，C′与O′重合，如图(1)；

(2)画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，

即CA＝C′A′；

(3)在图(1)中过B′作B′D′∥y′轴，

交x′轴于D′，在x轴上取OD＝O′D′，

过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′；

(4)连接AB、BC，则△ABC即为原图形，

如图(2)所示．

1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形．

2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长

度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．

一、选择题

1．关于斜二侧画法所得直观图，以下说法正确的是(

) A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形

B．正方形的直观图为平行四边形

C．梯形的直观图不是梯形

D．正三角形的直观图一定为等腰三角形

答案

B 解析

由于直角在直观图中有的成为45°，有的成为135°.当线段与x轴平行时，在直观图中长度不变且仍与x轴平行，因此答案为B. 2．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于(

) A．45°

C．90°

答案

D 解析

因∠A的两边分别平行于x轴、y轴，故∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°，故选D. 3．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是(

) B．135°

D．45°或135°

答案

C 解析

可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．

4．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的(

)

答案

C 解析

由于直观图中的四边形有一边与y′轴平行，所以平面图中必有一边与另一边垂直，选项C符合．

5．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是(

)

答案

A 解析

直观图中正方形的对角线长为2，故在平面图形中平行四边形的高为22，只有A项满足条件，故A正确．

6.如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是(

)

A．AB

C．BC

答案

B 解析

如图，最长线段为AC. B．AC

D．AD

7.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是(

)

A．正方形

C．菱形

答案

C 解析

如图，在原图形OABC中，

应有OD＝2O′D′＝2×22 ＝42 cm，

CD＝C′D′＝2 cm. ∴OC＝OD2＋CD2

＝422＋22＝6 cm，

∴OA＝OC，

故四边形OABC是菱形．

二、填空题

8．利用斜二测画法得到：

①三角形的直观图是三角形；

②平行四边形的直观图是平行四边形；

③正方形的直观图是正方形；

④菱形的直观图是菱形．

以上结论中，正确的是______________．(填序号) 答案

①②

解析

斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．

9．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为__________．

B．矩形

D．一般的平行四边形

答案

2.5 解析

由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5. 10.如图所示，一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．

答案

2

22122·OA＝OA＝. 2242解析

画出直观图，则B′到x′轴的距离为11．如图所示，A′B′C′D′是一个水平放置的平面图形的直观图，已知A′B′C′D′是一个直角梯形，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′，且B′C′与y′轴平行，又A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2，则梯形A′B′C′D′的原图形ABCD的面积为________．

答案

202 解析

如图，由斜二测画法的规则知梯形A′B′C′D′的原图形ABCD为梯形且BC⊥AB.

所以AB＝A′B′＝6，

DC＝D′C′＝4，

BC＝2B′C′＝22A′D′＝42，

1所以S四边形ABCD＝×(6＋4)×42＝202. 2

三、解答题

12．一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为3 cm，圆锥的高为3 cm，画出此机器部件的直观图．

解

(1)如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画圆柱的两底面．在xOy平面上画出底面圆O，使直径为3 cm，在z轴上截取OO′，使OO′＝3 cm，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面圆O′，使其直径为3 cm. (3)画圆锥的顶点．在z轴上画出点P，使PO′等于圆锥的高3 cm. (4)成图．连接A′A，B′B，PA′，PB′，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体(机器部件)的直观图，如图．

13．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．

解

四边形ABCD的真实图形如图所示，

∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，

∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，

∴在原四边形ABCD中，

DA⊥AC，AC⊥BC，

∵DA＝2D′A′＝2，

AC＝A′C′＝2，

∴S四边形ABCD＝AC·AD＝22.