3.3.4 两条平行直线间的距离第二课时教学实录

点到直线的距离、两条平行直线间的距离（教学设计）

教学目标：

1.知识与技能：

1）理解点到直线距离公式的推导，

2）熟练掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间距离；2.过程与方法

经历两点间距离公式的推导过程，会用点到直线距离公式求解两平行线距离

王新敞3.情感、态度与价值观：

认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题

王新敞教学重点、难点

重点：将直线间的距离转化为点到直线的距离来求解两条平行直线间的距离

难点：两平行直线间的距离的求法。 一）创设情境，导入新课

前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离。

学生思考一点到直线的距离计算？能否用两点间距离公式进行推导？ （二）

师生互动，探究新知

1．点到直线距离公式及其推导：

点P(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离为：d

（1）提出问题

在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为(x0,y0)，直线方程中A＝0或B＝0时，，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢? 学生可自由讨论。

（2）数行结合，分析问题，提出解决方案

学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P到直线l的距离d是点P到直线l的垂线段的长. 这里体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为

一个曾经解决过的问题，一个自己熟悉的问题。

画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。

方案一：

设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，直线PQ的斜率为

Ax0By0C王新敞AB22

B（A≠0），根据点斜式写出直线PQA1

的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线l的距离为d 王新敞此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法

王新敞方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R(x1,y0)；作y轴的平行线，交l于点S(x0,y2)，

由A1x1By0C0By0CAx0Ax0By2C0得x1A,yC2B. 所以，｜PＲ｜＝｜xAx0By0C0x1｜＝A

｜PS｜＝｜yyAx0By0C02｜＝B

｜ＲS｜＝PR2PS2A2B2AB×｜Ax0By0C｜

由三角形面积公式可知：d·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜王新敞

所以dAx0By0CA2B2

可证明，当A=0时仍适用王新敞

（三）公式识别，巩固提高. 例1 求点P=（-1，2）到直线 3x=2的距离。

解：d=312532023

变式训练1 1.求点A（-2，3）到直线3x+4y+3=0的距离. 2.求点C（1，-2）到直线4x+3y=0的距离. 3.点P(-1,2)到直线3x=2的距离是. 4.点P(-1,2)到直线3y=2的距离是. 5.点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值. 例2 已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求三角形ABC的面积。

解：设AB边上的高为h，则

SABC=12ABh

yRdP(x0,y0)QoSlxy A h B C 2

AB31132222，

AB边上的高h就是点C到AB的距离. AB边所在直线方程为y3X1即x+y-4=0。

1331

点C到X+Y-4=0的距离为h=1041125，

2因此，S=15225

22通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性。

例3 求两平行线l1：2x3y80，l2：2x3y100的距离. 解法1：在直线l1上取一点P(４，0)，

因为l1∥l2，所以点P到l2的距离等于l1与l2的距离.于是

d2430102232213213

13新问题：平行直线间距离如何求？。

已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：AxByC10，

l2：AxByC20，则l1与l2的距离为dC1C2王新敞AB22

证明：设P0(x0,y0)是直线AxByC20上任一点，则点P0到直线AxByC10的距离为dAx0By0C1王新敞AB22

又

Ax0By0C20

即Ax0By0C2，∴d＝C1C2AB22

王新敞上述例3的解法2：l1∥l2又C18,C210. 由两平行线间的距离公式得d

8(10)232223

13王新敞3

变式训练3：（1）已知直线l1:2x7y80,l2:6x21y10，l1与l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离。

分析：两直线是否平行就看其斜率是否相等。若平行，l1与l2间的距离可利用上例的方法求得。

生：（讨论后解答）解：l1的斜率k7，l6122的斜率k22127，即：k1k2

所以l1∥l2。在直线l1上任取一点A（4，0），

点A（4，0）到直线l2的距离为：

d64210162212233532315953。

所以l1与l232间的距离为15953。

（2）平行线2x+3y-8=0和2x+3y+18=0的距离是______; 两平行线3x+4y=10和6x+8y=0的距离是____. （四）课堂小结，巩固反思：

1、点P(x0C0,y0)到直线l:AxByC0的距离为：dAx0By王新敞A2

B22、已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：AxByC10，l2：AxByC20，

则l1与l2的距离为dC1C2王新敞A2B2

特别注意：x与y的系数应化为相等。

3、点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式

（五）布置作业

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