3.1.1 变化率问题第二课时教案

第10讲

变化率与导数、导数的计算

1．导数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

f（x0＋Δx）－f（x0）Δylim

＝lim

为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝Δx→0Δx→0ΔxΔxΔyf（x0＋Δx）－f（x0）lim

＝lim

. Δx→0ΔxΔx→0Δx(2)导数的几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

(3)函数f(x)的导函数

f（x＋Δx）－f（x）称函数f′(x)＝Δlim_为f(x)的导函数．

x→0Δx2．基本初等函数的导数公式

原函数

导函数

f(x)＝c(c为常数)

f′(x)＝0 －n*f(x)＝x(n∈Q)

f′(x)＝nxn1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

xf(x)＝a (a>0且a≠1)

f′(x)＝axln a

f(x)＝ex

f′(x)＝ex

1f(x)＝logax (x>0，a>0且a≠1)

f′(x)＝

xln a1f(x)＝ln x (x>0)

f′(x)＝

x3.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

f（x）′＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）(g(x)≠0)．

(3)[g（x）]2g（x）

1.教材习题改编

函数y＝f(x)的图象如图，则导函数f′(x)的大致图象为(

)

B

[解析] 由导数的几何意义可知，f′(x)为常数，且f′(x)＜0. 2.教材习题改编

函数y＝xcos x－sin x的导数为(

) A．xsin x

B．－xsin x

C．xcos x

D．－xcos x

B

[解析] y′＝x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x. 3.教材习题改编

已知f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则x0＝________．

[解析] 因为f′(x)＝－8＋4x，所以f′(x0)＝－8＋4x0＝4，解得x0＝3.

[答案] 3 4.教材习题改编

函数y＝xln x与x轴的交点为P，则曲线y＝xln x在点P处的切线方程为________．

[解析] 由y＝0得xln x＝0，即x＝1，

所以P点的坐标为(1，0)．

又y′＝ln x＋1，所以曲线在点P处的切线斜率为y′|x＝1＝ln 1＋1＝1.故切线方程为y＝x－1.

[答案] y＝x－1 －5．若曲线y＝ex上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．

－－[解析] 设P(x0，y0)，因为y＝ex，所以y′＝－ex，

所以点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，

所以－x0＝ln 2，所以x0＝－ln 2，

所以y0＝eln 2＝2，所以点P的坐标为(－ln 2，2)．

[答案] (－ln 2，2)

导数的计算

[典例引领] ππ

(1)已知函数y＝f(x)的导函数为f′(x)且f(x)＝x2f′＋sin x，则f′＝________．

33(2)求下列函数的导数：

①y＝(3x2－4x)(2x＋1)；②y＝x2sin x；

ln x③y＝3xex－2x＋e；④y＝2. x＋1

[通关练习] 11．已知f(x)＝x2＋2xf′(2 017)＋2 017ln x，

2则f′(2 017)＝________．

2 017[解析] 由题意得f′(x)＝x＋2f′(2 017)＋，

x2 017所以f′(2 017)＝2 017＋2f′(2 017)＋，

2 017即f′(2 017)＝－(2 017＋1)＝－2 018.

故填－2 018.

[答案] －2 018 2．求下列函数的导数：

cos x(1)y＝xnex；(2)y＝；(3)y＝exln x. sin x－－[解] (1)y′＝nxn1ex＋xnex＝xn1ex(n＋x)．

－sin2x－cos2x1(2)y′＝＝－2.

2sinxsinx11＋ln x. (3)y′＝exln x＋ex·＝exxx

导数的几何意义

导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，属中低档题．

高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度：

(1)已知切点求切线方程；

(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标；

(3)已知切线方程求参数值．

[典例引领] －－

(1)(2016·高考全国卷丙)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝ex1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是____________．

(2)(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________．

1(3)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．

x

[题点通关]

角度一

已知切点求切线方程

1．(2017·威海质检)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为(

) A．x＋y－1＝0

B．x－y－1＝0 C．x＋y＋1＝0

D．x－y＋1＝0

B

[解析] 因为点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，

所以设切点为(x0，y0)．

y0＝x0ln x0，又因为f′(x)＝1＋ln x，所以

y0＋1＝（1＋ln x0）x0，解得x0＝1，y0＝0.

所以切点为(1，0)，所以f′(1)＝1＋ln 1＝1.

所以直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.

角度二

已知切线方程(或斜率)求切点坐标

a32．设a∈R，函数f(x)＝ex＋x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，e2则切点的横坐标为________．

aaa[解析] 函数f(x)＝ex＋x的导函数是f′(x)＝ex－x.又f′(x)是奇函数，所以f′(x)＝－f′(－x)，即ex－x＝－eee113－－(ex－a·ex)，则ex(1－a)＝ex(a－1)，所以(e2x＋1)(1－a)＝0，解得a＝1，所以f′(x)＝ex－x.令ex－x＝，ee21解得ex＝2或ex＝－(舍去)，所以x＝ln 2.

2[答案] ln 2

角度三

已知切线方程求参数值

3．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b的值等于(

) A．2

B．－1 C．1

D．－2 31＋a＋b＝3，2

C

[解析] 依题意知，y′＝3x＋a，则3×1＋a＝k，

k＋1＝3，a＝－1，由此解得b＝3，所以2a＋b＝1，选C. k＝2，2

——导数与其他知识的交汇

抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是________．

【解析】

由于y′＝2x，所以抛物线在x＝1处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.

11111画出可行域(如图)．设x＋2y＝z，则y＝－x＋z，可知当直线y＝－x＋z经过点A2，0，B(0，－222211－2，.

1)时，z分别取到最大值和最小值，此时最大值zmax＝，最小值zmin＝－2，故取值范围是221－2，

【答案】

2

(2017·武汉高三月考)已知曲线f(x)＝xn1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 017x1＋log2 017x2＋…＋log2 017x2 016的值为________．

[解析] f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1，点P(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x1nn＝1－＝，即xn＝.

n＋1n＋1n＋11232 0152 0161所以x1·x2·…·x2 016＝×××…××＝.

2342 0162 0172 017则log2 017x1＋log2 017x2＋…＋log2 017x2 016

1＝log2 017(x1·x2·…·x2 016)＝log2 017＝－1.

2 017[答案] －1 ＋