习题4.1板书设计及设计说明

圆的方程教学设计

学习目标

1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．

2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．

一、【知识梳理】

1、圆的定义

平面上到定点的距离等于__定长__的点的集合称为圆，定点称为圆的___圆心__、定长称为圆的半径．

2、确定圆的几何要素

确定圆的几何要素是“__圆心__与半径”．

3、圆的标准方程

当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为_(x－a)2＋(y－b)2＝r2 _，特别地，当圆心在原点时，方程为_

x2＋y2＝r2 _．

4、圆的一般方程

D2＋E2－4FDE方程x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，当D＋E－4F>0时，表示以_(－，－)_为圆心，__为半2222222径的圆，此时方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．

5、点与圆的位置关系

可知平面上的一点M(x0，y0)与圆C之间存在着下列关系：

（1）d>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在__圆外_；

（2）d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在__圆上__；

（3）d

二、【知识辨析】

1．关于圆的定义和确定圆的几何要素

(1)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．(

) (2)确定圆的几何要素是圆的半径．(

) [答案] (1)×

(2)×

[解析] (1)圆是一个平面图形，必须是在平面上到定点的距离等于定长的点的集合．

(2)确定圆的几何要素有两个，一个是圆心、一个是半径．

2．关于圆的标准方程和一般方程

(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2，不论t为什么实数都表示一个圆的方程．(

)

(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．(

) [答案] (1)×

(2)×

[解析] (1)t＝0时，方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2就表示点(a，b)，此时不表示圆．

22D2E2D＋E－4F(2)由方程x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，配方得(x－)＋(y－)＝，

22422由此可见只有在D2＋E2－4F>0时才能叫做圆的一般方程，

DE而当D2＋E2－4F＝0时表示点(－，－)，当D2＋E2－4F<0时不表示任何图形．

223．关于圆的直径式方程

已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(

) [答案] √

→→→→[解析] 设圆上异于A，B的任意一点M的坐标为(x，y)，根据圆的性质MA⊥MB，根据平面向量知识MA·MB＝0，把坐标代入即是方程(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.由点A，B的坐标也适合方程(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.故得以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 三、【典例精析】

探究点一

圆的方程的求法

例1 (1)已知圆经过A(2，－3)，B(－2，－5)，若圆心在直线x－2y－3＝0上，则圆的标准方程是________．

(2)△ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，则其外接圆的一般方程是________．

[答案](1)(x＋1)2＋(y＋2)2＝10

(2)x2＋y2－4x－2y－20＝0 [解析] (1)方法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

492D3EF0D＝2，则4252D5EF0，

解得E＝4，DF＝－5.E2()3022

∴圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0，即(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 方法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

(2a)2(3b)2r2a＝－1，222则(2a)(5b)r，

解得b＝－2，

a2b30r2＝10.

∴圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.

1方法三：由圆的性质，圆心在AB的中垂线上．AB的中点为(0，－4)，AB的斜率为，故AB的中垂线2方程为y＝－2x－4，与方程x－2y－3＝0，联立解得圆心的坐标为(－1，－2)，圆心到点A的距离为10，即圆的半径为10，所以所求的圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. (2)方法一：设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则由题意

－D＋5E＋F＋26＝0，有－2D－2E＋F＋8＝0，5D＋5E＋F＋50＝0，

D＝－4，解得E＝－2，F＝－20.

故所求的圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0. a＝2，方法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，三点代入可解得：b＝1，r＝5.∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25，即x2＋y2－4x－2y－20＝0. 方法三：由题意可求得AC的中垂线方程为x＝2，BC的中垂线方程为x＋y－3＝0，∴圆心P是两中垂线的交点(2,1)，∴半径r＝|AP|＝5，∴所求的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25，即x2＋y2－4x－2y－20＝0. [点评] 本题给出了求圆的方程的三种基本方法．如已知圆心在一条直线上，圆过点A，B时，圆心还在AB的中垂线上，这样两直线的交点就是圆心，平面上不共线的三点有唯一确定的圆，这种条件也可以看作是确定圆的几何要素，实际上，三角形外接圆的圆心就在三边的中垂线的交点处，圆心到任意一点的距离就是圆的半径．求圆的方程的主要方法就是根据已知条件得到方程或者方程组，确定其中的系数的待定系数法．

归纳总结求圆的方程，主要有两种方法：

①几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系进而求得基本量和圆的方程．具体过程中要用到有关圆的一些常用性质和定理．

②待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．

探究点二

与圆有关的最值问题

例2

在△OAB中，已知O(0,0)，A(8,0)，C(0,6)，△OAB的内切圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，P是圆上一点．

(1)求点P到直线l：4x＋3y＋11＝0的距离的最大值和最小值；

(2)若S＝|PO|2＋|PA|2＋|PB|2，求S的最大值和最小值．

分析

(1)条件：动点P在圆上；目标：求点P到直线l：4x＋3y＋11＝0的距离最值；方法：转化为圆心到该直线的距离和圆的半径之间的关系．

(2)条件：动点P在圆上；目标：求S的最值；方法：把S表示为圆上点的坐标的函数，通过这个函数的最值解决．或者根据圆的方程的特点，进行三角换元，转化为三角函数的最值．

|3×2＋4×2＋11|25[解析] 方法一：(1)圆心为(2,2)，该点到直线4x＋3y＋11＝0的距离d＝＝＝5，

532＋42故圆上点P到直线l距离的最大值为5＋2＝7，最小值为5－2＝3. (2)设点P为(x，y)，则S＝x2＋y2＋(x－8)2＋y2＋x2＋(y－6)2

＝3(x2＋y2－4x－4y)－4x＋100＝－4x＋88，

而(x－2)2≤4，∴－2≤x－2≤2，即0≤x≤4，∴－16≤－4x≤0，∴72≤S≤88，

即当x＝4时Smin＝72，当x＝0时Smax＝88. 方法二：(1)由于x，y满足(x－2)2＋(y－2)2＝4，根据同角三角函数关系，可以设点P的坐标为(2＋2cosθ，2＋2sinθ)(θ为参数，且0≤θ<2π)，则由点到直线的距离公式可得

d|4(22cos)3(22sin)11||2510sin()|4其中tanφ＝，

35169∴当sin(θ＋φ)＝1时，dmax＝7；当sin(θ＋φ)＝－1时，dmin＝3. (2)由P(2＋2cosθ，2＋2sinθ)得

S＝|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝(2＋2cosθ)2＋(2＋2sinθ)2＋(2＋2cosθ)2＋(2＋2sinθ－6)2＋(2＋2cosθ－8)2＋(2＋2sinθ)2＝80－8cosθ，

∴当cosθ＝1时Smin＝72；当cosθ＝－1时Smax＝88.

点评

圆的方程非常适合进行三角换元，三角换元后的x，y分别用一个角的正弦和余弦表示，这实际上就是圆的参数方程，它非常有利于问题的解决．圆中的最值问题可以从几何意义和建立函数关系两个方面进行考虑

归纳总结 与圆有关的最值问题，其几何意义较为明显，因此，可以利用几何图形列出代数表达式(等式或不等式)求解，也可以使用函数方法求解，即根据已知条件得到相关函数，然后求在某约束条件下的最值(值域)．

变式题

实数x，y满足x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，求下列各式的最大值和最小值：

y(1)；

(2)3x－4y；

(3)x2＋y2. x－4y[解析] (1)方法一：令＝k，则kx－y－4k＝0，

x－4∵x，y满足x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，所以圆心(－1,2)到直线kx－y－4k＝0的距离不大于圆的半径2，

即|2＋5k|220≤2，解得－≤k≤0，

21k＋1

∴y20的最大值为0，最小值为－. 21x－4(2)方法一：设3x－4y＝k，则3x－4y－k＝0，圆心(－1,2)到该直线的距离不大于圆的半径2，

即|－3－8－k|≤2，解得－21≤k≤－1，

25∴3x－4y的最大值为－1，最小值为－21. 3k方法二：设k＝3x－4y，即y＝x－，代入圆的方程，整理得

4425x2－(16＋6k)x＋k2＋16k＋16＝0，

∵上述方程有实根，∴Δ＝(－16－6k)2－4×25(k2＋16k＋16)≥0，

化简整理得k2＋22k＋21≤0，解得－21≤k≤－1，

∴3x－4y的最大值为－1，最小值为－21. x＝－1＋2cosα，方法三：圆的参数方程为(α∈[0,2π))，

y＝2＋2sinα

∴3x－4y＝3(－1＋2cosα)－4(2＋2sinα) 4＝6cosα－8sinα－11＝10cos(α＋φ)－11其中tanφ＝，

3∴－21≤3x－4y≤－1，即3x－4y的最大值为－1，最小值为－21. (3)方法一：先求出原点与圆心之间的距离d＝5，根据几何意义，知x2＋y2的最大值为(5＋2)2＝9＋45，最小值为(5－2)2＝9－45. x＝－1＋2cosα，方法二：圆的参数方程为(α∈[0,2π))，

y＝2＋2sinα

∴x2＋y2＝(－1＋2cosα)2＋(2＋2sinα)2＝9＋8sinα－4cosα

1＝9＋45sin(α＋φ)其中tanα＝－，

2∴9－45≤x2＋y2≤9＋45，

即x2＋y2的最大值为9＋45，最小值为9－45. 备选例题

已知△ABC的三边长分别为3,4,5，点P是它的内切圆上一点，求以PA，PB，PC分别为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值．

解：由已知得△ABC为直角三角形，建立如图所示的直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，C(0,3)，设内切圆半径为r，

故内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，又设P点坐标为(1＋cosα，1＋sinα)，得以PA，PB，PC为直径的三个圆面积

PA2PB2＋πPC2＝π(PA2＋PB2＋PC2) S＝π＋π2224π＝[(1＋cosα)2＋(1＋sinα)2＋(1＋cosα－4)2＋(1＋sinα)2＋(1＋cosα)2＋(1＋sinα－3)2] 4π＝(10－cosα)，

2且－1≤cosα≤1，

119∴当cosα＝－1时，Smax＝π；当cosα＝1时，Smin＝π. 22四、【思想方法·感悟提高】

方法与技巧

1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．

2．解答有关圆的最值问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，合理选择圆的方程的不同形式，简

化运算．

五、【课后作业】

圆的方程

【基础热身】

1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(

) A．(2，3)

B．(－2，3)

C．(－2，－3)

D．(2，－3) 2．若直线3x－y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为(

) A．－1

B．1

C．3

D．5 3．已知方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8＝0表示一个圆，则实数k的取值范围是(

) A．－1

B．－4

C．k<－4或k>1

D．k<－1或k>4 4．已知圆x2＋y2－2x＋my－4＝0上两点M，N关于直线2x＋y＝0对称，则圆的半径为(

) A．9

B．3

C．23

D．2 【能力提升】

5．△ABC三个顶点的坐标分别是A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，则该三角形的外接圆方程是(

) A．(x－2)2＋(y－2)2＝20

B．(x－2)2＋(y－2)2＝10

C．(x－2)2＋(y－2)2＝5

D．(x－2)2＋(y－2)2＝5

6．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为(

) A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2

B．(x－1)2＋(y－1)2＝2

C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8

D．(x－1)2＋(y－1)2＝8 7．设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上任意点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为(

) A．6

B．25

C．26

D．36 38．圆心在曲线y＝(x>0)上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为(

) x316y－＝9

B．(x－3)2＋(y－1)2＝

A．(x－2)＋252221822C．(x－1)＋(y－3)＝5

D．(x－3)＋(y－3)＝9 2229．过两点A(0，4)，B(4，6)，且圆心在直线x－2y－2＝0上的圆的标准方程是________．

10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0，1)．P是圆C上的动点，当|PA|2＋|PB|2取最大值时，点P的坐标是________．

y＋311．如果实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝1，那么的取值范围是________．

x－112．如图，是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m，在建造时每隔4 m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度(精确到0.01 m)．

【难点突破】

→→→13．已知定点A(0，1)，B(0，－1)，C(1，0)，动点P满足：AP·BP＝k|PC|2. (1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；

→→(2)当k＝2时，求|2AP＋BP|的最大、最小值．

圆的方程（参考答案）

【基础热身】

1．D

[解析] 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，选D. 2．D

[解析] 因为圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为(－1，2)，由直线3x－y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心得a＝5. 3．D

[解析] 由(2k)2＋42－4(3k＋8)＝4(k2－3k－4)>0，解得k<－1或k>4. m1，－，代入解得m＝4，即圆的方4．B

[解析] 根据圆的几何特征，直线2x＋y＝0经过圆的圆心2程为x2＋y2－2x＋4y－4＝0，配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝32，故圆的半径为3. 【能力提升】

5．C

[解析] 易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，∴圆心是斜边AC的中点(2，2)，半径是斜边长的一半，即r＝5，∴外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5. 6．B

[解析] 易得线段的中点即圆心为(1，1)，线段的端点为(0，2)，(2，0)，∴圆的半径为r＝2，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 7．D

[解析] 方法一：(x－5)2＋(y＋4)2几何意义是点P(x，y)到点Q(5，－4)的距离的平方，由于点P在圆(x－2)2＋y2＝1上，这个最大值是(|QC|＋1)2＝36. x＝2＋cosθ，方法二：圆的方程是(x－2)＋y＝1，三角换元得P点的坐标]

y＝sinθ，22∴(x－5)2＋(y＋4)2＝(cosθ－3)2＋(sinθ＋4)2

＝cos2θ＋sin2θ＋8sinθ－6cosθ＋25＝8sinθ－6cosθ＋26＝10sin(θ－φ)＋26，则其最大值为36. 123x＋＋3x32，，

8．A

[解析] R＝≥3，当且仅当x＝2时取等号，所以半径最小时圆心为253y－＝9. 圆方程为(x－2)＋2229．(x－4)2＋(y－1)2＝25

[解析] 设圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

∵圆心在直线x－2y－2＝0上，∴a－2b－2＝0①. 又∵圆过两点A(0，4)，B(4，6)，∴(0－a)2＋(4－b)2＝r2②

且(4－a)2＋(6－b)2＝r2③，

由①，②，③得，a＝4，b＝1，r＝5，∴圆的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝25. 182422222，

[解析] 设P(x0，y0)，则|PA|2＋|PB|2＝x210.＋(y＋1)＋x＋(y－1)＝2(x＋y000000)＋2，

55→→22显然x20＋y0的最大值为(5＋1)，∴dmax＝74，此时OP＝－6PC，结合点P在圆上，

1824解得点P的坐标为5，5.

4y＋3，＋∞

[解析] 用数形结合，设k＝11.，则y＝kx－(k＋3)表示经过点P(1，－3)的直线，k为3x－1y＋3直线的斜率，所以求的取值范围就等价于求同时经过点P(1，－3)和圆上的点的直线中斜率的最大，最x－1小值．从图中可知，当过P的直线与圆相切时斜率取最大，最小值，此时对应的直线斜率分别为kPB和kPA，|2k－（k＋3）|y＋34其中kPB不存在，由圆心C(2，0)到直线y＝kx－(k＋3)的距离＝r＝1解得k＝，所以的3x－1k2＋14，＋∞. 取值范围是312．解：建立坐标系如图，圆心在y轴上，由题意得P(0，4)，B(10，0)．

设圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2，因为点P(0，4)和B(10，0)在圆上，

2220＋（4－b）＝r，b＝－10.5，所以2

22解得2210＋（0－b）＝r.r＝14.5，所以这个圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52. 设点P2(－2，y0)，由题意y0>0，代入圆方程得(－2)2＋(y0＋10.5)2＝14.52，解得y0＝14.52－22－10.5≈3.86(m)，故支柱A2P2的长度约为3.86 m. 【难点突破】

→→→13．解：(1)设动点坐标为P(x，y)，则AP＝(x，y－1)，BP＝(x，y＋1)，PC＝(1－x，－y)．

→→→因为AP·BP＝k|PC|2，所以x2＋y2－1＝k[(x－1)2＋y2]，整理得(1－k)x2＋(1－k)y2＋2kx－k－1＝0. 若k＝1，则方程为x＝1，表示过点(1，0)且平行于y轴的直线．

k1k1若k≠1，则方程化为x＋1－k＋y2＝1－k.表示以k－1，0为圆心，以为半径的圆．

|1－k|(2)当k＝2时，方程化为(x－2)2＋y2＝1，

→→因为2AP＋BP＝(3x，3y－1)，

→→所以|2AP＋BP|＝9x2＋9y2－6y＋1. →→又x2＋y2＝4x－3，所以|2AP＋BP|＝36x－6y－26. 方法一：问题归结为求6x－y的最值，令t＝6x－y，由于点P在圆(x－2)2＋y2＝1上，故圆心到直线t|12－t|→→＝6x－y的距离不大于圆的半径，即≤1，解得12－37≤t≤12＋37，结合|2AP＋BP|＝36x－6y－26，37→→得|2AP＋BP|的最大值为46＋637＝3＋37，

最小值为46－637＝37－3. 22

方法二：问题归结为求6x－y的最值，令t＝6x－y，则y＝6x－t，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，根据这个方程的判别式不小于零得到与方法一完全相同的结果．

方法三：因为(x－2)2＋y2＝1，所以令x＝2＋cosθ，y＝sinθ，

则36x－6y－26＝637cos(θ＋φ)＋46∈[46－637，46＋637]，

→→所以|2AP＋BP|的最大值为46＋637＝3＋37，

最小值为46－637＝37－3.