4.3.2 空间两点间的距离公式教案设计范例

4.3.2空间两点间的距离公式

【教学内容分析】

课本通过实际情境引入本节内容，激发学生学习兴趣的同时引起学生解决问题的欲望，使学生亲身体验数学学习的意义与价值，培养学习的自觉性；关于空间两点间的距离公式的推导，课本采取从易到难、从特殊到一般的设计过程，有利于学生掌握本节内容并养成良好的思维习惯。

【课标要求】

借助特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。

【学情分析】

学生由于刚开始学习立体几何与空间直角坐标系的内容，空间想象能力比较薄弱，上课时要让学生多从实物与模型出发去观察、去分析、去操作，同时类比数轴和平面直角坐标系进行直观感知、操作确认。

【课时安排】

1课时

【教学目标】

1.掌握空间两点间的距离公式，会用空间两点间的距离公式解决问题。

2.通过探究空间两点间的距离公式，灵活运用公式，初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法，培养类比、迁移和化归的能力。

3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标，类比平面中两点之间的距离的求法，探索并得出空间两点间的距离公式，充分体会数形结合的思想，使学生经历从易到难、从特殊到一般的认知过程，培养积极参与、大胆探索的精神。

【教学重难点】

教学重点：空间两点间的距离公式的推导和应用

教学难点：空间两点间的距离公式的推导

【教学与学法】

启发式、探究式、合作式

【教学准备】

教师：制作多媒体课件

学生：复***面两点间的距离公式

【教学过程】

导入新课

我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x1-x2|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=(x2x1)2(y2y1)2.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式. 新知探究

提出问题

①平面直角坐标系中，两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？

②几何与实际生活经常会涉及距离问题，例如在建筑设计中常常需要计算空间两点间的距离，同学们会计算吗？

③给你一块砖，你如何量出它的对角线长，说明你的依据。

④设A(x,y,z)是空间任意一点，它到原点的距离是多少？应怎样计算？

⑤同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？

设计意图

借助类比，充分发展学生的类比联想能力，激起学生的求知欲望。

讨论结果（预设）：

①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=(x2x1)2(y2y1)2,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.

图1 ③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算。

④如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A作AB⊥xOy平面,垂足为B,过B分别作BD⊥x轴,BE⊥y轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO、BOD是直角三角形,所以

BO2=BD2+OD2,AO2=AB2+BO2=AB2+BD2+OD2=z2+x2+y2,因此A到原点的距离是d=x2y2z2. ⑤由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=(x2x1)2(y2y1)2,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方。

推导两点之间的距离公式：

图2 如图2，设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P1P2作xOy平面的垂线,垂足是M,N,则M(x1,y1,0),N(x2,y2,0),于是可以求出|MN|=(x2x1)2(y2y1)2. 再过点P1作P1H⊥P2N,垂足为H,则|MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|,所以|HP2|=|z2-z1|. 在Rt△P1HP2中,|P1H|=|MN|=(x2x1)2(y2y1)2,根据勾股定理,得|P1P2|=|P1H|2|HP2|2=(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2.因此空间中点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离为|P1P2|=(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2. 于是空间两点之间的距离公式是d=(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根。

典例讲解

例1

证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC是一等腰三角形.

活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定. 证明：由两点间距离公式得：

|AB|=(74)2(13)2(21)227,

|BC|=(57)2(21)2(32)26, |CA|=(45)2(32)2(13)26. 由于|BC|=|CA|=6,所以△ABC是一等腰三角形. 点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长. 课堂练习

练习1 三角形△ABC的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC是一直角三角形.

活动：学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判定。

解:因为三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以

|AB|=(11)2(21)2(31)2=3, |BC|=(01)2(01)2(51)232, |CA|=(10)2(20)2(35)2=3. 又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC是直角三角形. 课堂小结

1.空间两点间的距离公式的推导与理解。

2.空间两点间的距离公式的应用。

作业

习题4.3

A组3，B组1 【板书设计】

空间两点间的距离公式

例1

练习1