复习参考题教学设计和教学实录

高中数学必修2《点线面的位置关系》单元过关

平行性测试A卷

一、选择题：本大题共6小题，每小题6分。在每小题给出的四项选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设P是直线

外一定点，过点P且与

成30°角的异面直线(

)

A．

有无数条

B．

有两条

C．

至多有两条

D．

有一条

2．设

为两条不同的直线，

为平面，则下列结论正确的是（

）

A．

，

B．

，

C．

，

D．

，

3．设α，β是空间的两个平面，m，n，l是空间的三条直线，如果α⊥β，α∩β＝l，

m∥α，n⊥β，那么

A．

m∥n

B．

m⊥n

C．

m∥l

D．

n⊥l

4．如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(

)

A．

B．

C．

D．

5．如图，在三棱锥

中， ⊥底面 ， ＝ ，则直线 与平面 所成角的大小为

A．

B．

C．

D．

6．把矩形ABCD沿对角线BD折成二面角A­BD­C，若AB＝1，AD＝

，AC＝

，则平面ABD与平面BCD的夹角为(

)

A．

30°

B．

60° C．

120°

D．

90°

二、填空题：本大题共4小题，每小题6分。

7．正四面体相邻两侧面所成二面角的正弦值是________ 8．已知一个正四棱锥的底面正方形边长为2，侧棱长为2，则该棱锥的侧棱与底面所成角的大小为________.

9．从正方体

的

个顶点中任意选择

个点，记这

个点确定的平面为

，则垂直于直线

的平面

的个数为__________．

10．如图60°的二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在二面角两个半平面内，且垂直于AB,ACBD6,AB8，则CD__________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

11．如图，四棱锥

的底面 为菱形，

，

，

分别为 和 的中点．

（

）求证：

平面 ．

（

）求证：

平面 ．

12．如图，已知圆锥的顶点为P，母线长为4，底面圆心为O，半径为2．

（1）求这个圆锥的体积；

（2）设OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，求异面直线PM与OB所成角的正切值．

13．如图，平行四边形ABCD中，

BD23,AB2,AD4，将BCD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD.

（1）求证：

ABDE

（2）求三棱锥EABD的侧面积.

高中数学必修2《点线面的位置关系

》单元过关

平行性测试A卷（参考答案）

1．A 【解析】

【分析】

利用模型圆锥即可得到答案.

【详解】

过点P且与

成30°角的异面直线有无数条，并且异面直线在以P为顶点的圆锥的侧面上.

故选：A

【点睛】

本题考查了异面直线的概念，属于基础题.

2．C 【解析】

【分析】

对每一个选项逐一判断得解.

【详解】

对于A，若m⊥n，m∥α时，可能n⊂α或斜交，故错；

对于B，m⊥n，m⊥α

n∥α或m⊂α，故错；

对于C，m∥n，m⊥α

n⊥α，正确；

对于D，m∥n，m∥α

n∥α或m⊂α，故错；

故答案为：C

【点睛】

(1)本题主要考查空间直线平面的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.(2)对于类似直线平面位置关系的判断，可以利用举反例和直接证明法.

3．D 【解析】

【分析】

题目考查空间两条直线的位置关系，根据题意，画图图像可判断出正确的选项.

【详解】

根据题意画出图像如下图所示，由图可知，

选项正确.

（排除B，C选项）

（排除A选项）

【点睛】

本小题主要考查空间点线面的位置关系，可根据题意已知条件将题目所给的线面关系，用图像画出来，并移动图像，由此可以举出反例，对选项进行排除，从而得出正确的选项.

4．D 【解析】

【分析】

平移A1B到CD1则

即为异面直线所成的角

【详解】

连接

,AC

则

即为异面直线所成的角

设A1A=2，AB=1，则AC=

，

由余弦定理：cos

故选D

【点睛】

本题考查了空间异面直线所成角的求解，解题中首先要通过平移，找到异面直线所成角的平面角，这是解题的关键，其次利用正、余弦定理求角的大小.

5．B 【解析】

【分析】

根据 ⊥底面 ，判断出 为直线 与平面 所成角，利用三角形 为等腰直角三角形求解

【详解】

由题意可知， ⊥底面 ，所以 为直线 与平面 所成角，

，所以三角形 为等腰直角三角形，所以

，故选B

【点睛】

求解线面角的步骤：先找出线面角，再证明线面角，最后求解线面角。

6．B 【解析】

【分析】

在平面图形中，求出AE=CF=

，CE=

，EF=1，利用AC=

，

可求二面角A﹣BD﹣C的大小．

【详解】

设二面角A﹣BD﹣C的大小为θ

过A、C作BD的垂线，交点为E、F，

∵AB=1，AD=

，

∴根据勾股定理BD=2，

∴∠ADB=30°（对边是斜边的一半），

∴AE=CF=

，CE=

，EF=1

∴AC=

=

=

，

则cosθ=

，

则θ=60°

故答案为：B

【点睛】

(1)本题主要考查二面角的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)

二面角的求法方法一：（几何法）找

作（定义法、三垂线法、垂面法）

证（定义）

指

求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量

；再代入公式

（其中

分别是两个平面的法

向量，

是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“

”号）

7．

【解析】

【分析】

由已知中正四面体的所有面都是等边三角形，取CD的中点E，连接AE，BE，由等腰三角

形“三线合一”的性质，易得∠AEB即为相邻两侧面所成二面角的平面角，解三角形ABE即

可得到正四面体（所有面都是等边三角形的三棱锥）相邻两侧面所成二面角的余弦值和正弦

值．

【详解】

取CD的中点E，连接AE，BE，如下图所示：

设四面体的棱长为2，则AE=BE=

，

且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为相邻两侧面所成二面角的平面角，

在△ABE中，cos∠AEB=

=

，

.

故正四面体（所有面都是等边三角形的三棱锥）相邻两侧面所成二面角的正弦值是故答案为：【点睛】

(1)本题主要考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)

二面角的求法方法一：（几何法）找

作（定义法、三垂线法、垂面法）

证（定义）

指

求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量

；再代入公式

（其中

分别是两个平面的法

向量，

是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“

”号）

8．

.

【解析】

【分析】

利用底面为正方形可以得到底面的对角线的长度为

，再利用 为直角三角形得到

从而求出侧棱与底面所成的角.

【详解】

如图，

，

，因为底面为正方形，故

，故

填 .

，因 为锐角，故

，

，

【点睛】

一般地，在正棱锥中，有四个直角三角形（如图所示，

），它们沟通了棱锥的侧棱、底边的边长、斜高和高之间的关系，关于棱锥的计算问题中，注意利用这四个直角三角形实现不同量之间的转化.

9．2.

【解析】分析：作出草图根据线面垂直的判定定理证明即可.

详解：

与直线

垂直的平面有平面

和平面

，故与直线

垂直的平面

的个数为

．

点睛：考查线面垂直，对定理的熟悉是解题关键，属于基础题.

10．10

【解析】由题意得，过点B作BEAC，EAC且B6，如图所示，则DBE60，又BDBE6，所以BDE为等边三角形，且四边形ABEC为矩形，即CEAB且CE平面BDE，而DE平面

BDE，所以CEDE，由勾股定理得，

CDCE2DE2826210.

点睛：此题主要考查二面角在空间立体图形中求线段长度的应用，以及数形结合法的应用，属于中档题型，也是常考考点.在解决此类问题中，常常把立体问题转化为平面图形问题来解决，根据条件画出草图，观察图形特点，利用勾股定理、正弦定理或是余弦定理进行运算，从而问题可得解.

11．(1) 证明见解析.

(2)证明见解析.

【解析】分析：（1）证明线面平行，只需在面内找一条直线与已知线平行即可，取 中点为

，证明四边形 是平行四边形即可；（2）证明线面垂直则需在面内找两条相交直线与已知线垂直即可，

，

即可得证.

详解：

（

）证明：取 中点为

，

∵在

中，

是 中点，

是 中点，

∴

，且

，

又∵底面 是菱形，

∴

，

∵

是 中点，

∴

，且

，

∴

，且

，

∴四边形 是平行四边形，

∴

，

又

平面 ，

平面 ，

∴

平面 ．

（

）证明：设

，则

是 中点，

∵底面 是菱形，

∴

，

又∵

，

是 中点，

∴

，

又

，

∴

平面 ．

点睛：本题考查了空间直线平面的平行，垂直，关键是熟练掌握定理，定义，把空间问题转化为平面问题求解，属于中档题．

12．（1）

；

（2）

.

【解析】

【分析】

（1）利用勾股定理求得圆锥的高，然后利用体积公式计算出体积（.2）通过平行，作出直线 与直线 做成的角，解三角形求得两条直线所成角的正切值.

【详解】

（1）在Rt△POB中，PB＝4，OB＝2，所以PO＝2

．

所以求圆锥的体积V＝

×π×2×2

＝

2

．

（2）取OA中点N，连结MN，PN，因为M为线段AB的中点，所以MN∥OB，于是∠PMN是异面直线PM与OB的所成角．

因为ON＝

OA＝1，PN＝

＝

，MN＝

OB＝1，在Rt△PMN中，tan∠PMN＝ ＝

，

即异面直线PM与OB所成角的正切值为

．

【点睛】

本小题主要考查圆锥的体积公式，考查两条直线所成角的求解方法.知道圆锥母线长和底面半径，可通过勾股定理求得圆锥的高，并通过圆锥的体积公式计算出圆锥的体积.通过中位线，可将两条直线平移到一起，然后通过解三角形求得线线角的正切值.

13．（1）证明见解析；（2）S823.

【解析】试题分析：（I）证明：在ABD中，由又平面EBD平面ABD

，所以

平面EBD平面ABDBD,AB平面ABD

AB平面EBD

DF平面EBD,ABDE

（Ⅱ）解：由（I）知ABBD,CD//AB,CDBD,从而在RtDBE中，

DB23,DEDCAB2

SABE又1DBDE23

2AB平面EBD,BE平面EBD,ABBE

BEBCAD4,SABE1ABBE4

2DEBD,平面EBD平面ABD

ED，平面ABD

而AD平面ABD,EDAD,SADE1ADDE4

2综上，三棱锥EABD的侧面积，

S823

考点：面面垂直的性质

点评：两面垂直，其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另外一面