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(五十一)

直线与圆、圆与圆的位置关系

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．直线kx＋y－2＝0(k∈R)与圆x2＋y2＋2x－2y＋1＝0的位置关系是(

) A．相交

C．相离

解析：选D

圆心为(－1,1)，

|－k＋1－2||k＋1|所以圆心到直线的距离为＝，

1＋k21＋k2所以直线与圆的位置关系和k值有关，故选D．

2．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是(

) A．－2

C．－6

B．－4 D．－8 B．相切

D．与k值有关

解析：选B

圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a(a<2)，圆心C(－1,1)，半径r满足r2＝2－a，则圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离d＝2，所以r2＝22＋(2)2＝2－a⇒a＝－4．

3．已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则|MN|的最小值是(

) 9A．

54C．

5B．1 D．13

5解析：选C

圆心(－1，－1)到点M的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d＝|－3－4－2|94＝，故点N到点M的距离的最小值为d－1＝．

5554．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．

解析：因为点A(1,2)在圆x2＋y2＝5上，

故过点A的圆的切线方程为x＋2y＝5，

5令x＝0，得y＝．

2令y＝0，得x＝5，故所求三角形的面积

1525S＝××5＝．

224答案：25

4

15．若圆x2＋y2＋mx－＝0与直线y＝－1相切，其圆心在y轴的左侧，则m＝________．

4m2＋1m22m2＋12解析：圆的标准方程为x＋2＋y＝，圆心到直线y＝－1的距离2＝2|0－(－1)|，解得m＝±3，因为圆心在y轴的左侧，所以m＝3．

答

二保高考，全练题型做到高考达标

1．若直线l：y＝kx＋1(k＜0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是(

) A．相交

C．相离

B．相切

D．不确定

案：3 解析：选A

因为圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝2，

所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为2，

因为直线l与圆C相切．

|－2k－1＋1|所以＝2，解得k＝±1，

k2＋1因为k＜0，所以k＝－1，

所以直线l的方程为x＋y－1＝0．

圆心D(2,0)到直线l的距离

d＝|2＋0－1|2＝＜3，

22所以直线l与圆D相交．

2．若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为(

) 1A．，－4

21C．，4

21B．－，4 21D．－，－4 2解析：选A

因为直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，所以直线y＝kx与直线2x＋y＋b＝0垂直，且直线2x＋y＋b＝0过圆心，所以11k＝2，k＝2，所以

2×2＋0＋b＝0，b＝－4.3．(2017·大连模拟)圆x2＋y2＋2y－3＝0被直线x＋y－k＝0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1∶3，则k＝(

) A．2－1或－2－1

B．1或－3

C．1或－2

D．2 解析：选B

由题意知，圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4．较短弧所对圆周角是90°，所以圆心(0，－1)到直线x＋y－k＝0的距离为|1＋k|2r＝2．即＝2，解得k＝1或－3．

224．(2015·重庆高考)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝(

) A．2

C．6

B．42 D．210 解析：选C

由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，

∴圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上，

∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，

∴A(－4，－1)．

∴|AC|2＝36＋4＝40．

又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36．

∴|AB|＝6．

5．已知直线3x＋4y－15＝0与圆O：x2＋y2＝25交于A，B两点，点C在圆O上，且S△ABC＝8，则满足条件的点C的个数为(

) A．1

C．3

B．2 D．4 |－15|32＋42＝3，

解析：选C

圆心O到已知直线的距离为d＝因此|AB|＝252－32＝8，

1设点C到直线AB的距离为h，则S△ABC＝×8×h＝8，h＝2，由于d＋h＝3＋2＝5＝2r(圆的半径)，

因此与直线AB距离为2的两条直线中一条与圆相切，一条与圆相交，故符合条件的点C有三个．

16．若直线y＝－x－2与圆x2＋y2－2x＝15相交于点A，B，则弦AB的垂直平分线方2程的斜截式为________．

解析：圆的方程可整理为(x－1)2＋y2＝16，所以圆心坐标为(1,0)，半径r＝4，易知弦1AB的垂直平分线l过圆心，且与直线AB垂直，而kAB＝－，所以kl＝2．

2由点斜式方程可得直线l的方程为y－0＝2(x－1)，

即y＝2x－2．

答案：y＝2x－2 7．已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．

解析：由x2＋y2＋2x－4y－4＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，

所以圆C的圆心坐标为C(－1,2)，半径为3，

由AC⊥BC，可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形，

故可得圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为由点到直线的距离公式可得解得a＝0或a＝6．

答案：0或6 8．在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，则切线的方程为________．

y＝x－1，x＝3，解析：联立解得所以圆心C(3,2)．设切线方程为y＝kx＋3，可y＝2x－4，y＝2.32，

2|－1－2＋a|32＝，

22

得圆心到切线的距离d＝r，即＝3或3x＋4y－12＝0．

|3k＋3－2|3＝1，解得k＝0或k＝－．则所求的切线方程为y41＋k2答案：y＝3或3x＋4y－12＝0 9．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上．

(1)求圆C的方程；

(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．

解：(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，

则a－22＋－2a＋12＝|a－2a－1|．

2化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1．

∴C(1，－2)，半径r＝|AC|＝1－22＋－2＋12＝2．

∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2．

(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得3，

4|k＋2|1＋k2＝1，解得k＝－

3∴直线l的方程为y＝－x．

4综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0．

10．如图，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P．

(1)求圆A的方程；

(2)当|MN|＝219时，求直线l的方程．

解：(1)设圆A的半径为r．

由于圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，

|－1＋4＋7|∴r＝＝25．

5∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20．

(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．

即kx－y＋2k＝0．

连接AQ，则AQ⊥MN．

∵|MN|＝219，

∴|AQ|＝20－19＝1，

则由|AQ|＝|k－2|k2＋1＝1，

3得k＝，∴直线l：3x－4y＋6＝0．

4故直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0．

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，2)，则四边形ABCD面积的最大值为(

) A．5

C．15

B．10 D．20

解析：选A

如图，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，

则|OP|2＋|OQ|2＝|OM|2＝3，∴|AC|2＋|BD|2＝4(4－|OP|2)＋4(4－|OQ|2)＝20．

又|AC|2＋|BD|2≥2|AC|·|BD|，

则|AC|·|BD|≤10，

11∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|≤×10＝5，

22当且仅当|AC|＝|BD|＝10时等号成立，

∴四边形ABCD面积的最大值为5．故选A．

2．(2017·湖南省东部六校联考)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．

(1)求圆C的方程；

(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

5a＞－，

解：(1)设圆心C(a,0)2则|4a＋10|＝2，

5解得a＝0或a＝－5(舍)．

所以圆C：x2＋y2＝4．

(2)如图，当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB．

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

22x＋y＝4，由得，(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，

y＝kx－1

k2－42k2所以x1＋x2＝2，xx＝．

k＋112k2＋1若x轴平分∠ANB，

kx1－1kx2－1y1y2则kAN＝－kBN⇒＋＝0⇒＋＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝x1－tx2－tx1－tx2－t2k2－42k2t＋10⇒2－2＋2t＝0⇒t＝4，

k＋1k＋1

所以当点N为(4,0)时，

能使得∠ANM＝∠BNM总成立．