习题4.3优秀教学实录

习题4.3空间直角坐标系

教学设计

福建省厦门双十中学

谢怡然

一、

教材分析

本节课为习题课，课堂所用的例习题选自人教A版高中数学必修二第四章第三节中习题的原题或改编题. 本节是在学习完立体几何和直线与圆的方程后，又一重要知识点，它是平面直角坐标系的进一步推广，是学生思维从二维到三维的过渡，与前面立体几何的内容前呼后应，更是后面运用空间向量解决立体几何问题的基础.

二、

学情分析

点在三维空间内位置的确定是一个比较抽象的过程. 学生在解决这方面问题，尤其是找出满足一定位置关系的点的横、纵、竖坐标之间的关系时，还没有形成清晰的方法归纳. 教学时，应通过不同类型的例习题，充分类比以往点在直线、点在平面内位置的确定方式，让学生总结确定点坐标的方法并体会不同方法的优点。同时，应给学生充分的练习时间，通过“抽取平面”的方法，自行将三维的立体图转化为二维的平面图．围绕在空间直角坐标系中点的坐标的确定这一教学重点，通过巩固与练习反复强化如何在坐标系中利用点的坐标的概念来确定点的坐标这一过程，以巩固学生对新知识的理解，实现从感性认识到理性认识的飞跃．

三、

教学目标

1.

复习空间直角坐标系的相关概念，会由点的位置写出坐标，会求满足一定位置关系的点的三个坐标之间的关系；

2.

理解将空间问题转化为平面问题，即“降维”思想是解决空间问题的基本思想方法，且能较熟练地“抽取平面”，将三维立体图转化为二维平面图；

3.

培养类别、化归、探究的能力和空间想象能力，能灵活选择代数法或几何法解决立体几何的问题；

4.

通过学习的过程，培养学生合作精神和勤于思考、勇于创新的意识，让每个学生都获得自己能力所能及的数学知识，增强学生的自信心.

四、

教学重点与难点

1.

重点：由点的位置写出点的坐标，求满足一定位置关系的点的三个坐标之间的关系、两点间的距离公式；

2.

难点：将空间问题转化为平面问题（将立体图转化为平面图）、双变量求最值问题.

五、

教学过程设计

（一）

复习回顾

问题与情境

师生活动

1.

在空间直角坐标系中，给出一学生思考、回答问题. 点

，如何确定点

的坐标？

教师提问，请个别同学回答问题设计意图

复习本章的两个核心知

识点：

1.空间直角坐标系中点与坐标一一对应的关系.点明“降维”思想与“作射影”的方法，

将三维空间中的问题转化为2.

若

，学生齐答平面上的问题.

，则

？

2.空间两点

间的距离公式.

（二）问题探究

问题与情境

1.（教材P138习题4.3 A组第3题

改编）

结晶体的基本单位称为晶胞. 图1为金属铝的晶胞示意图，黑点代表铝原子

(位于正方体顶点与各面中心)，若正方体棱长为

，

（1）求 处与 处的铝原子间的距离；（答案：

）

并点评. 师生总结：找出点 在 平面的射影

，则点

的横坐标和纵坐标为点

的横坐标和纵坐标；

到

的距离为 竖坐标的绝对值. 师生活动

（1）教师提问与引导：如何解决此问题？怎么求

、

两点的坐标？作射影后点竖坐标怎么确定？是哪条线段的长？

学生思考、齐答问题，计算. 教师提示：计算

时，根号内应先

提出公因式

较简便；板书计算过程. （2）学生思考并回答：正八面体. 教师解释并追问：若几何体有八个面，且每条棱长都相等，则称为正八面体.这个立方体每条棱是否相等？为什么？

法一（代数法）：建系，求出各棱的长度（根据对称性，只要求出 与 的长，验证是否相等）. 法二（几何法）：由正方形的对称性，知每个顶点是等价的、每个面是等价的，则每个面心也是等价的.此几何体的8条棱是连接面心的线段，若看作从一点出发，旋转正方体，每条棱是等价的. 讲解法二的同时，教师展示相应的化学模型，学生观察. 教师总结：解决一个立体几何

设计意图

第（1）小题是空间直角坐标系在实际（化学）问题中的简单应用. 通过本题，

1.使学生在熟悉情境中熟练应用两个核心知识点；

2.了解简便运算的方法：根号下有公因式应先提取公因式. 第（2）小题点明解决立体几何的两大方法——代数法（建系）与几何法. 若本题用几何法，则可以一眼看出，培养学生几何直观的数学核心素养. （2）判断以面心为顶点的几何体的形状.（答案：正八面体）

讲解图示：

问题时，有两种选择——一是建系，将问题转化为计算问题；二是直接用几何法，有时更方便.

【变式】（2012 高考

全国理综

第37题节选）

立方ZnS晶体结构如图2，晶胞边长为540 pm，求A位置的

与B位置的

之间的距离.（答案：

）

讲解图示：

1. 使学生在问题：求

与

之间的距离；关联的情境中，学生观察并思考. 体会数学建模的教师用PPT展示抽象出的数学思想，经历以下几何体，讲解各离子位置的构成；过程：

学生观察并思考. 实际情境

法一（代数法）：

数学

教师提问并引导：通过什么工

建模

具，可解决此问题？

点坐标是什

么？如何求

点坐标？步骤？竖坐数学问题（几标是哪条线段长？为多少？

何）

学生回答问题并计算. 教师引导学生：在计算时不妨①代数法②几何设晶胞边长为a，或先提取公因数法

，以简便运算. 2. 提高学生法二（几何法）：

数学运算素养：教师提问，学生思考、回答。

以字母表示数，几何法：因为点

是小正方体的体从而化简运算. 心，所以点

在小正方体体对角线其本质即第1题上. 又因为小正方体对角线是大正的“先提取公因方体体对角线的一半，因此

长式”. 为大正方体对角线长的

教师展示化学晶胞模型，提出

教师总结：实际问题可通过建模的方式，转化为数学问题，再用代数法或几何法解决. 代数法思维量较小，但有时计算量稍大；几何法思维量较大，但有时很简便.

2.（教材P139 习题4.3 B组第3题

（1）师生共同分析题目条件，改编）

建立空间直角坐标系，如图3-1-1. 学生思考：如何表示

、

两点

如图3，正方体

的棱长为1. 点

在正方坐标. 体的对角线

上，点

在正方体的表示点

坐标时，教师提示并棱

上. 讲解：①点

在 平面的射影

在

（1）当

为靠近

的三等分点，

何处？（点

在体对角线

上，射

为靠近

的三等分点时，求

；影一定落在

的射影 上）；②

的横纵坐标如何表示？（如图

（答案：

）

3-1，抽取 平面，画出来分析，

（2）当

为

中点，

在

得

的横、纵坐标分别为

、

）；③上运动时，探究

的最小值；

（答案：当

为

中点时，确定

的纵坐标：由相似三角形，

）

（3）当

在

上运动，

为

中点时，探究

的最小值；

（答案：当

为

中点时，

）

（4）当

在

上运动，

在

上运动时，探究

的最小值. （答案：当

为

中点且

为

中点时，

）

四小问层层递进。

（1）在具体计算问题中，运用、巩固“降维”的思想与“抽取相关平面”的方法.

（2）（3）在简单情境的问题（单变量）中引出函数思想：用变量表示动点，将要求的目标用函数

得

.

表示，最后通过学生计算

，教师巡视.注意函数思想解决最值问题. 同时，得

计算

时，应先到相关结论，为引导学生思考代

提取公因数

，写为

，

数与几何两种方计算较简便. 法做铺垫.

（2）教师提问：当

为动点时，（4）在复杂情境如何求

最小值？

的问题（双变量）预设学生回答：设点

坐标. 中巩固函数思教师小结：若假设出动点

的想，总结双变量坐标，则可列出 长度的表达式，求最值的方法. 从而求最小值. 学生表示出点

坐标，列出

表达式；教师提示：动点

如何表示？（将动点

射影到 平面，得射影

，则

横坐标为0，纵坐标为1；什么量是变化的？设竖

坐标为

）

师生共同列式并计算：

①设

，

则

.教

师提示：①引入未知数后应紧跟取值范围；②此表达式是关于 的二次函数，因此

时取最小值.

讲解图示：

第（1）小题：

教师总结：首先，引入未知数用来表示变量；接下来，将要求的目标用函数表示；最后，通过函数思想解决最值问题.

（3）教师提问，学生思考默答. 法一：代数法

问题1：动点

的坐标如何假设？三个坐标间满足什么关系？

①同第（1）小题，点

在 平面的射影

在线段 上，因此

；

第（3）小题：

思路一：

②求点 的纵坐标 与 或 的关系式：

图3-1-1 思路一（利用三角形相似）：

将纵坐标 的值转化为什么？（

）；

如何求

？（当

是三等分点时利用相似，此时

为动点，仍然利用相似）；哪两个三角形相似？（

）；可通过什么方法得到相关线段的长度？（抽取平面

）.

图3-1-2 学生在稿纸上作相关平面图的抽取图，并求出相关线段长度，表示出纵坐标

.

教师提示并讲解：如图3-2-1，设

，易得

.还需要哪些线段长？

？

？

注：为了求

，要先求出

、

. 这两条线段长不是很直观，结合图3-1-1，可将底面

抽取出来研究，如图3-2-2. 这一过图3-2-1 程需让学生自己作图与体会.

由

，得

，

思路二：

即

. 因此，设

，

总结：体对角线上一点的坐标如何假设？首先，将点射影到 图3-2-2 平面，则可得 、 间的关系；接下来，根据相似，得到竖坐标与横纵坐标的关系. 思路二（作两次射影）：

预设回答1：将

射影到 平面，则射影

在

上. 注：如图3-3-1，若按立体图的视角直接抽取，不便于求

所在直线的解析图3-3-1（劣）

式. 因此，应调整视角，按右手系抽取平面，如图3-3-3，得

：

图3-3-2是一种误解.

预设回答2：将

射影到 平面. 问题2：列出

的表达式，

图3-3-2（误）

求出最终答案.

. 因此，

，即点

为 中点时，

（注：计算时，代入

图3-3-3（正）

第一个等号后较简便）

法二：几何法

问题3：第（3）问的结论和前两问的相同——当点

为中点时，取最小值.这是一个巧合吗？如何解释？

、

两点间的距离即定点

到线段

上任一动点的距离，垂线段最短，即 为

的垂线. 提问：为何此时

为

中点？（由

为

中点，易证

，则

为等腰三角形. 因此，当

，即 为高时，

为

中点.）

（4）学生分组讨论1分钟，推选代表汇报. 法一（代数法）：

设

，

，则

，

.

. 教师提问：表达式涉及两个变量，如何求最值？

预设学生错误回答：消元，转化为单变量问题. 教师纠正，引导学生思考：此题是否可消元？

与

之间有关联吗？（

与

是两个相互独立的变量）. 正解：先固定其中一个变量，看为参数.逐个考虑. 教师提问：先将

看作变量，还是先将

看作变量？

在

的表达式中，只有一项含

，因此，先将

看作变量，将

看作参数，则

为关于

的二次函数，较简便.当

时，

再将

看作变量，当

，即时，

法二（几何法）：留作课后思考. 总结：双独立变量求最值问题，用“相对固定变量”的方法，先将其中一个未知数看作变量，其余看作参数，再将另一个看作变量，在“最小中取最小值”

【变式】当点

在平面

上运动时，探究

的最小值. 学生思考，教师提问：本题采用什么方法？是代数法好还是几何法好？为什么？如何解答？

用几何法较好.原因：若用代数法，面上的动点坐标之间的关系不好找，且列出的表达式形式为“根号加根号”，不便于求最值. 关解法：取点

关于平面

的对称点

，则

，则当

、

、

三点共线时，所求的最小值为

. 让学生体会，代数法与几何法的利弊，运用时需灵活选择.

课后思考题

第2题第（4）问，能否从几何的角度解释？

教师提示：代数法研究双独立拓展学生思维

变量，用相对固定变量的方法. 几何法相同，需用相对固定点的方法.

（三）课堂小结

1. 在空间直角坐标系中的两个关键问题：

①如何确定两点坐标——法一：射影，法二：相似；思想：降维、抽取平面. ②两点间的距离公式. 2. 几何问题的两种方法——代数法（利用空间直角坐标系）、几何法，需灵活选择.

3. 代数法中的一种具体步骤：引入变量表示动点，列出所求目标的表达式，用函数的思想求出最值.