小结多媒体教学设计及其点评

立体几何中的翻折问题

麓山国际实验学校

万正颜

教学目标：理解空间几何体的结构，掌握翻折前后平面与立体图形的区别与联系，通过复习空间图形的折叠变化培养学生的空间想象能力

教学重点难点：翻折问题的破解方法

教学过程：

一．引入问题

折叠问题是指将平面图形按某种要求翻折为立体图形，考察由此产生的位置关系和数量关系，这类问题由于涉及到平面到空间的动态变化，对空间想象能力，识图能力及分析能力要求均较高，是近年来高考的热门题型，要解决好此类问题应从哪些方面入手？

二．提出解决方案

点动问题；线动问题；面动问题；体动问题；多动问题等

（一）学生用草稿纸演示翻折过程: （二）翻折问题的一线五结论

一线：垂直于折痕的线即DFAE.

五结论：

1）折线同侧的几何量和位置关系保持不变；

折线两侧的几何量和位置关系发生改变；

2）DHF是二面角D-H-F的平面角；

3）D在底面上的投影一定射线DF上；

'为半径的圆；

4) 点D'的轨迹是以H为圆心，DH

5）面AD'E绕AE翻折形成两个同底的圆锥.二、翻折问题题目呈现：

（一）翻折位置确定型

△AFD折起使B,C,D三点重合于P点，如图，

（1）求二面角A-EF-P的大小；

（2）求所得几何体的体积；

解：(1)取EF重点M,连结AM、PM.

∵AE=AF,PE=PF, ∴

AM⊥EF,PM ⊥EF. ∴

∠AMP为二面角A-EF-P的平面角。

∵

AP=2,MP=

AP ⊥MP,

∴

tan ∠AMP=2√2

(2) ∵

AP⊥PE,PE⊥PF,PF⊥AP,

∴VP-ABC= 1/3×1/2×1×1×2=1/3 例1：已知：E、F是正方形ABCD的边BC和CD的中点，分别沿AE,EF,AF将△ABE, △ECF, （二）翻折过程中的范围与最值问题

例2、平面四边形ABCD中，AD=AB=2，CD=CB= 5,且ADAB，现将△ABD沿DABCAEBCD

对角线BD翻折成A'BD，则在A'BD折起至转到平面BCD的过程中，直线A'C与平面BCD所成最大角的正切值为_______ .

解：由题意知点A运动的轨迹是以E为圆心,EA为半径的圆，当点AA运动到与圆相切的时候所称的角最大，所以tanA'CB3。

312EC【设计意图】加强对一线、五结论的应用，重点对学生容易犯的错误进行分析，找出错误的原因。

例3、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，线段AD，BD的中点分别为E，F。现将△ABD沿对角线BD翻折，则异面直线BE与CF所成角的取值范围是

A.(,)

B. (,]

6362

C. (,]

32D. (,2)

33

分析：这是一道非常经典的学考试题，本题的解法非常多，很好的考查了空间立体几何线线角的求法。

方法一：特殊值法（可过F作FH平行BE,找两个极端情形）

方法二：定义法：利用余弦定理：

AEHDFCFH2FC2CH254321cosFHCCH2，有CH

2FHFC4344B11cosCFH,异面直线BE与CF所成角的取值范围是(,]32

22当堂检测：

1、（.2017浙江高三3月联考第9题·考点1、考点2）矩形ABCD中，

AB3，

BC1，将ABC与ADC沿AC所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围（包含初始状态）为（

）

A.[0,30]

B. [0,60]

C. [0,90]

D. [0,120]

【解题思路提示】翻折问题需要画好翻折后的图像，了解角度关系. 课后小结：

（一）翻折问题的一线五结论

一线：垂直于折痕的线即DFAE.

五结论：

1）折线同侧的几何量和位置关系保持不变；

折线两侧的几何量和位置关系发生改变；

2）DHF是二面角D-H-F的平面角；

3）D在底面上的投影一定射线DF上；

'为半径的圆；

4) 点D'的轨迹是以H为圆心，DH

5）面AD'E绕AE翻折形成两个同底的圆锥.二、方法层面：

1）转化思想：转化为翻折之前，转化为平面问题，转化为截面圆或圆锥面中来解决

2）特殊法（极端情形），关注翻折过程中的特殊位置.