复习题第二课时 公开课

巧构全等三角形 探究几何模型

后湖中学

胡于荣

一、内容和内容解析

1．内容

巧构全等三角形解决几何中线段相等问题．

2．内容解析

证明线段相等是几何题中的常见问题，而最常用的方法即是证明三角形全等，有些题目中已经直接存在或做简单的辅助线（如垂线等）即可得到全等三角形，而有些题目条件较少或难以入手，简单辅助线构造出的三角形无法证明全等，需要选取合适辅助线巧构全等三角形从而解决问题．

基于以上分析,可确定本节课的教学重点是:巧构全等三角形，解决线段相等问题．

二、目标和目标解析

1．目标

（1）能够做出合适的辅助线，构造出全等三角形．

（2）能够通过辅助线找齐判定全等第三个条件，解决最终问题．

2．目标解析

达成目标（1）的标志:明确此类题目辅助线的依据：一组对应边相等是判定三角形全等的必要条件．

达成目标（2）的标志:通过对不同几何图形的分析及变式训练，利用巧妙的辅助线解决这类线段相等问题．

三、教学问題诊断分析

八年级学生已经学习了全等三角形,平行四边形,具备了对简单平面几何问题的解决能力,但对于如何做辅助线以及辅助线的选择没有具体概念，本节课探讨的题型简单辅助线构造出的直角三角形无法简单说明全等（缺少一组相等的对应边），只得通过构造一组相等的对应边来构全等三角形，把构造三角形问题转化为构造线段相等

鉴于以上分析,确定本节课的教学难点是:如何巧构一组对应边来构造全等三角形。

四、教学过程

活动一

AD1.创设情境，展示模型

例

如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的

1中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于

点F．

F（1）求证：∠1=∠2．

（2）猜想AE和EF的数量关系，你能证明吗？

B2H

师生活动：学生认真独立思考，交流互动汇报成果．

EC

2.交流互动，探究方法

证明线段相等就是要证明三角形全等，图中以AE为边的△ABE和以EF为边的△CEF明显不全等，即要做辅助线构造全等三角形．首先就想到过点F做BC的垂线FH得到Rt△EHF,证其与Rt△ABE全等即可解决问题，但无法证明全等（没有线段相等），只得重新选择辅助线，取线段AB中点G，构造△AGE≌△ECF,即可解决问题．

问题1：如何证明∠BAE=∠CEF？

问题2：取线段AB中点G的目的是什么？

问题3：BG与BE有什么关系？△BEG是什么特殊三角形？

问题4：判定三角形全等的第三个条件是什么？如何得出第三个条件？

师生活动：通过老师的4个问题让学生感受此类题的选取辅助线的方法依据，了解解答过程．

设计意图：通过探究，让学生了解此类题目辅助线的选取方法，感受解题过程．

刚才的题目中E点位置比较特殊（中点），当E点不在中点时，例题中的结论是否仍然成立？能否用刚才的方法去解决问题？

变式1

如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC AD上的一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF 1于点F．猜想：AE与EF是否仍然相等？

F

B2ECH

师生活动：学生独立解决问题，老师与同学一起交流．

设计意图：让学生熟悉同一种题型辅助线选取方法是一样的，感受同一类题型同一方法解决．

变式2

如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC延长线上的一点，∠AEF=90°，F且EF交正方形外角平分线CF于点F．猜想：AE与EF是否仍然相等？

AD

1

2ABCD是正方形，BCEAD变式3

如图，四边形1点E是边CB延长线上的一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．猜想：AE与EF是否仍然相等？

E2BCF

师生活动：学生独立思考互相讨论，老师与同学一起交流．

设计意图：让学生明确该题型构造全等的方法不是单纯构线段相等，是通过构造等腰三角形来构造全等三角形．

活动二

在等边三角形中前面的结论是否仍然成立？我们又该如何解决这个问题呢？能运用前面的方法吗？

如图，三角形ABC是等边三角形，点D是边BC的一点，∠ADE=60°，且DE交等边三角形外角平分线ACE于点E．

1（1）求证：∠1=∠2．

（2）猜想AD和DE的数量关系并证明．

E

B2DCF

师生活动：学生独立思考后，合作交流，得出解题思路．

设计意图：从正方形拓展至等边三角形，让学生感受一法解一类题．

活动三

思考与展望：

通过前面的研究我们发现，无论是在正方形还是正三角形中始终存在线段相等的结论，那么该结论在正n边形中是否都是成立的呢？∠AEF为多少度时结论成立呢？有兴趣同学们可以在课后互相探讨一下正六边形和正八边形。

（1）如图1，CF是正六边形ABCDMN的外角平分线，点E在边BC上，当∠AEF=

时，AE=EF．

（2）如图2，CF是正n边形的外角平分线，点E在边BC上，当∠AEF=

时，AE=EF．

NMADFADFBEC

BEC

图1

图2

5.课堂小结

本类题做辅助线的方法是什么？目的是什么？

6.目标检测

如右图，正方形ABCD边长为6，CF是外角平分线，点E是线段BC延长线上一点，CE=2，∠AEF=90°，EF=

．

FADBCE

7.课后作业

如图，三角形ABC是等边三角形，点D是边BC延长线上的一点，∠ADE=60°，且DE交等边三角形外角∠ACD的平分线CE于点E。证明:AD=DE．

EA

BCD