画轴对称图形教学设计及课堂实录

中考专题复习

——线段和差最值问题

晋江市阳溪中学

林筝

一、

教学目标

1.

知识与技能：理解并掌握实际生活中最短问题的实质就是垂线段最短、两点之间，线段最短；

2.

数学思考：过程了解解决线段和差最值问题的基本策略的基本原理；

3.

解决思考：通过解决问题培养学生转化问题的能力，以及及时总结反思的良好习惯。

4.

情感与态度：巩固、提高空间观念、模型思想和几何直观的思想和意识。

二、教学重难点

重点：借助三大变换转移线段达到共线的目的。了解解决线段和差最值问题的基本策略和基本原理；通过探索解决问题的过程，进行方法的归纳和建模，形成解决问题的通法。

难点：正确合理添加辅助线，把线段和最小、线段差最大问题转化到同一直线上，综合运用所学知识解决线段和差最值问题。

三、学情分析

从心理特点来看，九年级的学生思维成熟，有想法，对直观事物的感知能力强，想象力丰富，正逐步从形象思维过渡到抽象思维，在知识储备上，他们在七年级上册已学习过《最短路径问题》，对坐标系、抛物线、三角形、四边形、圆的知识也进行复习，具备一定的解决问题能力，可以主动参与、思考、交流。但由于学生归纳总结、综合实践能力不足，很难发现数学知识之间的联系，因此在解决实际问题时常常感到无处着手。所以，我们可以在教学中进行一些知识融合，使他们的分析问题、解决问题、总结反思等能力进一步提高。

四、教学过程

（一）

观看微课《线段和差最值问题》

（二）典型模型

1：PA+PB的最小值模型——一个点在动，原理：两点之间线段最短

点在异侧

A

点在同侧

PlB

2：|PA-PB|的最大值模型——一个点在动，原理：两点之间线段最短

BAB'lP

3：CM+MN最小值——两个点在动，原理：垂线段最短

N'MNC

BDPACEBA（三）典型例题

1.

如图，正方形ABCD中，AB＝4，E是BC的中点，点P是对角

线AC上一动点，则PE+PB的最小值为

，|PE-PB|的最大值为

2.

已知锐角三角形ABC中，BC＝42，∠ABC=45°, BD平分∠ABC，

点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为

（四）学以致用

MDBNC1.如图A、B两点在直线MN同侧，且AB＝4，点P在MN上运动，则|PA-PB|的最大值为

. 2.已知O为坐标原点，

A(4,0)，B(0,6)，C、D分别为OA、AB的中点，P为

OB上一动点，则PC+PD的

最小值为

.

3.如图，点A是锐角∠MON内任意一点，在∠MON的两边OM、ON分别求作点B、C，

使△ABC周长最小.

4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E、

F分别是AD，AC上

的动点，则CE+EF的最小值为(

)

A.

第1题

40

B. 3.75

C. 4.8

D.6

3yBDPOCAx第2题

第3题

第4题

（五）达标检测

1、如图，已知菱形ABCD的周长为，

∠ABC=60°

，E为AB的中点，

若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为

.

2、已知，正方形ABCD的边长为

，∠DAC的平分线交DC于点E，

若点P、Q分别是AD、AE上动点，则PQ+DQ的最小值为

.

（六）小结

BCAPDQE1、运用“两点之间线段最短” 的两种模型，解决线段之和

最小的问题。

2、通过构造三角形利用“三角形三边关系”的两种模型，解决线段之差绝对值最大的问题。

3、运用“垂线段最短”，解决线段之和最小的问题。

4、运用转化思想，将几条线段转化成共线，解决线段和差的最值问题。

（七）作业

必做题：

1、在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，若点P在AC边上移动，则BP的最小值为

. 2、在平面直角坐标系中有两点A（-3, 1），B（-1, 2），请在x轴上找点Q，

在y轴上找点P，使AQ+QP+PB值最小。

3、如图，在四边形

ABCD 中，∠B ∠C  90

，

AB 

CD ，

AD 

AB 

CD ,DE平分∠ADC

的平分线，交

BC 于点

E ．若CD  2 ，

AB  4 ，点

M ，

N 分别是

AE ，

AB 上的动点，求

BM 

MN 的最小值．

选做题：4、如图，A、B两点在河的两岸。现要在河上造一座桥，桥要建要何处，才能使A到B的路径最短.（假设河的两岸是平行直线，且桥要与河垂直）

五、反思

线段的和差最值问题是最近几年中考的一个热点，因其问法多样化、条件隐含化、解法多元化，学生往往不易发现问题的本质，难以找到有效的解题方法，教师在教学时能结合题意，借助相关的概念、图形的性质将最值问题化归与转化为相应的数学模型（线段公理、垂线段最短、三角形三边关系等）进行分析与突破，注重分析条件与结论的联系，渗透解题思想的类比，解题方法的迁移，从而启发学生的思维，让学生解题时总有“似曾相识”之感，快速准确地找到解法。