利用完全平方差公式进行因式分解教案和学案内容

第四章

因式分解

3．公式法（二）

五华县马汕曾镜明中学

廖朝晖

一、教学目标

（一）教学知识点

1.使学生会用完全平方公式分解因式. 2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式. （二）能力训练要求

在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力. （三）情感与价值观要求

通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力. 二、教学重难点

1、教学重点

让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法. 2、教学难点

让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式. 三、教学过程

（一）复习

1.我们已经学过哪些因式分解的方法？

（1）提公因式法

（2）平方差公式

a2-b2=(a+b)(a-b) 2.整式乘法的完全平方公式：

(ab)2a22abb2

222(ab)a2abb

（二）.创设问题情境，引入新课

［师］我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？

在前面我们不仅学***方差公式

（a+b）（a－b）=a2－b2

而且还学***方公式

（a±b）2=a2±2ab+b2

本节课，我们就要学***方公式分解因式. （三）新课

1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点. ［师］由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？

［生］可以. 将完全平方公式倒写：

a2+2ab+b2=（a+b）2; a2－2ab+b2=（a－b）2. 便得到用完全平方公式分解因式的公式. ［师］很好.那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？请大家互相交流，找出这个多项式的特点. ［生］从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解. ［师］左边的特点有（1）多项式是三项式；

（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；

（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍. 右边的特点：这两数或两式和（差）的平方. 用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式. 由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法. 练一练

下列各式是不是完全平方式？

（1）a2－4a+4; （2）x2+4x+4y2; （3）4a2+2ab+b2; （4）a2－ab+b2; （5）x2－6x－9; （6）a2+a+0.25. ［师］判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项14

数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍. ［生］（1）是. （2）不是；因为4x不是x与2y乘积的2倍；

（3）是；

（4）不是.ab不是a与b乘积的2倍. （5）不是，x2与－9的符号不统一. （6）是. 2.例题讲解

例1 .如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( ) A . 11 B. 9 C. -11 D. -9 变式训练 如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________. 例2.把下列完全平方式分解因式：

（1）16x2+24x+9；

（2）-x2+4xy-4y2.

［师］分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式. 解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2

= (4x + 3)2； (2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2)

=-(x-2y)2. 例3

把下列各式分解因式：

(1)3ax2+6axy+3ay2

；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.

［师］分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式. 如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式. 解：（1）3ax2+6axy+3ay2

=3a（x2+2xy+y2）

=3a（x+y）2

(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62

=(a+b-6)2. 3.课堂练习

（1）针对训练,因式分解：

①－3a2x2＋24a2x－48a2；

②(a2＋4)2－16a2. (2)①下列四个多项式中，能因式分解的是( ) A．a2＋1 B．a2－6a＋9 C．x2＋5y D．x2－5y ②把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( ) A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2

C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2) ③若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________．

④若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________ ．

（3）课本P102随堂练习

1.解：（1）是完全平方式

x2－x+=x2－2·x·+（）2=（x－）2

（2）不是完全平方式，因为3ab不符合要求. （3）是完全平方式

12m+3 m n+9n2

411=（

m）2＋2×

m×3n+（3n）2

221=（

m +3n）2

214121212（4）不是完全平方式

2.解：（1）x2－12xy+36y2

=x2－2·x·6y+（6y）2

=（x－6y）2; （2）16a4+24a2b2+9b4

=（4a2）2+2·4a2·3b2+（3b2）2

=（4a2+3b2）2

（3）－2xy－x2－y2

=－（x2+2xy+y2）

=－（x+y）2; （4）4－12（x－y）+9（x－y）2

=22－2×2×3（x－y）+［3（x－y）］2

=［2－3（x－y）］2

=（2－3x+3y）2

（四）.课时小结

这节课我们学***方公式分解因式.它与平方差公

式不同之处是：

（1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负. 同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式. （五）课后作业

课本P103第1、2题

四、板书设计

4.3 运用公式法（二）

一、1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点

2.例题讲解

例1、例2 二、课堂练习

a.随堂练习

b.补充练习（课件）

三、课时小结

四、课后作业

第四章

因式分解

3．公式法（二）教学设计反思

本节课我们学习了运用公式法分解因式的第二种方法，即逆用完全平方公式分解因式的方法，使用该方法的关键就是观察完全平方式的结构特征：两数的平方和与这两个数的乘积的2倍，具体应用时要特别关注第二项的符号。

把一个多项式进行因式分解的一般方法是：先看有无公因式可提取，然后再尝试用公式法分解因式，直到最终结果再也不能分解因式为止。

运算类型的课往往比较枯燥，学生容易产生浮躁的心理，不利于知识的掌握与运算能力的提高。本节课的设计尽量做了平实无华，将新知教学层层深入，适当的巩固练习，每一个环节让学生感觉不吃力。同时设计过程中注意题型的变化，引导学生暴露学习中的问题，这样易于激发学生的兴趣，使学生的思维不断被拓展，从而达到强化所学知识和提高能力的目的。