等腰三角形的判定与反证法PPT配套教学设计内容

第2课时

直角三角形全等的判定及反证法

教学目标

一、基本目标

1．能够证明直角三角形全等的“HL”定理，并能利用“HL”定理解决实际问题．

2．进一步掌握推理证明的方法，提升演绎推理能力和思维能力．

二、重难点目标

【教学重点】

直角三角形全等的判定方法．

【教学难点】

直角三角形全等的判定的应用．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P18～P20的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．证明三角形全等的方法有：AAS 、ASA、SAS、SSS. 2．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”．

3．如图，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，可以证明△BAD≌△BCD的理由是(

A

)

A．HL

B．ASA

C．SAS

D．AAS

4．下列条件中能判定两个直角三角形全等的有(

D

) ①有两条直角边对应相等；②有两个锐角对应相等；③有斜边和一条直角边对应相等；④有一条直角边和一个锐角对应相等；⑤有斜边和一个锐角对应相等；⑥有两条边相等．

A．6个

B．5个

C．4个

D．3个

环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF.求证：Rt△ABF≌Rt△DCE.

【互动探索】(引发学生思考)证明三角形全等的方法有哪些？已知两边对应相等可以寻找哪些条件证明三角形全等？

【证明】∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABFBF＝CE，与△DCE都为直角三角形．在Rt△ABF和Rt△DCE中，∵AB＝CD，

∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)．

【互动总结】(学生总结，老师点评)利用“HL”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．

【例2】如图，已知AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，若AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.

【互动探索】(引发学生思考)从图中可以知道，要证BC＝BE，可以从三角形全等入手．观察图形判断Rt△ADC和Rt△AFE全等吗？Rt△ABD和Rt△ABF呢？

【证明】∵AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，∴∠D＝∠F＝90°.在Rt△AC＝AE，ADC和Rt△AFE中，∵AD＝AF，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)，∴CD＝EF.在Rt△ABD和RtAB＝AB，△ABF中，∵AD＝AF，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)，∴BD＝BF，∴BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE. 【互动总结】(学生总结，老师点评)证明线段相等可通过证明三角形全等解决．直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．下列条件中能说明两个直角三角形全等的是(

D

) A．锐角分别相等

B．一条直角边分别相等

C．斜边分别相等

D．两直角边分别相等

2．如图所示，AB∥EF∥DC，∠ABC＝90°

，AB＝DC，那么图中共有全等三角形(

C

)

A．5对

B．4对

C．3对

D．2对

3．在Rt△ABC和Rt△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D＝90°，再补充一个条件BC＝EF(答案不唯一)，便可得Rt△ABC≌Rt△DEF. 4．如图，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，EF过点C，BE⊥EF于点E，DF⊥EF于点F，BE＝DF. 求证：Rt△BCE≌Rt△DCF.

证明：连结BD.∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝DC.∵BE⊥EF，DF⊥EF，∴∠E＝∠F＝90°.在Rt△BCE和Rt△DCF中，BC＝DC，∵BE＝DF，

∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL)．

活动3

拓展延伸(学生对学) 【例3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB.点P、Q分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A、C重合，那么当点P运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？

【互动探索】本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝10，可据此求出点P的位置；(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合，不合题意．

【解答】分情况讨论：(1)当点P运动到AP＝BC时，在Rt△ABC和Rt△QPA中，∠C＝∠QAP＝90°，BC＝AP，AB＝PQ，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，即AP＝BC＝10；(2)当点P运动到与点C重合时，AP＝AC，不合题意．综上所述，当点P运动到距离点A为10时，△ABC与△APQ全等．

【互动总结】(学生总结，老师点评)判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”．

练习设计

请完成本课时对应练习！