等腰三角形的判定与反证法教学目标

第1章

三角形的证明

1 等腰三角形

第3课时

等腰三角形的判定与反证法

课题

第3课时

等腰三角形的

授课人

判定与反证法

1.证明等腰三角形的判定定理，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性．

知识技能

2．会运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明.

数学思考

问题解决

情感态度

教学重点

教学难点

授课类型

教具

培养合作探究意识和逆向思维能力.

初步了解反证法的含义，并能利用反证法证明简单的命题.

体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性.

教

学

目

标

等腰三角形的判定定理的证明，结合实例体会反证法的含义.

运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明.

新授课

课时

课件、三角尺、等腰三角形纸片

教学活动

教学步骤

师生活动

回答下列问题．

问题1：请同学们回顾一下，前面我们学习了等腰三角形的哪些性质？

(学生口答) (1)等腰三角形两底角相等，就是“等边对等角”．

(2)“三线合一”．

(3)等腰三角形两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角的平分线相等．

问题2：等腰三角形两底角相等，这个命题的题设和结论是什么？

设计意图

回顾

设计成问题串不但是检测学生对上节课内容掌握的情况，而且也为引出等腰三角形的判定定理埋下伏笔.

（续表）

活动

一：

创设

情境

导入

新课

【课堂引入】

前面我们已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，

提出问题，设疑有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？你有几种证明的方法？

导入.

【探究1】

等腰三角形的判定

已知：如图1－1－84，在△ABC中，∠B＝∠C.求证：AB＝AC. 先由小组讨论写出已知与求证，并写出验证方案，教师组织学生进行交流，再让小组代表在黑板上演练.

让学生明确用综合法证明本结论是行不通的，从而产生要探究一种新方法的欲望，结合课本中小明的想法初步感受反证法，体会反证法在证明中出人意料的作用.

图1－1－84 证明一：

如图1－1－85，作顶角的平分线AD，则∠1＝∠2. 活动

二：

实践

探究

交流

新知

∠B＝∠C（已知），在△BAD和△CAD中，∠1＝∠2（已知），

AD＝AD（公共边），∴△ABD≌△ACD(AAS)，

∴AB＝AC(全等三角形的对应边相等)．

图1－1－85

图1－1－86 证明二：

如图1－1－86，作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝∠ADC＝90°. 在△BAD和△CAD中，

∠ADB＝∠ADC（辅助线的作法），∠B＝∠C（已知），

AD＝AD（公共边），∴△ABD≌△ACD(AAS)，

∴AB＝AC(全等三角形的对应边相等)．

定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．(简称为“等角对等边”) 【探究2】

反证法

在一个三角形中，如果两个角不相等，那么，这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？

图1－1－87 如图1－1－87，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C＝∠B，但已知条件是∠B≠∠C.“∠C＝∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC. 方法总结：先假设命题的结论不成立，然后由此推导出与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．我们把它叫做反证法．

“反证法”的一般步骤：

(1)假设：假设结论的反面正确；

(2)归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾；

(3)结论：说明假设不成立，从而得到原命题的结论正确.

【应用举例】

例1

已知：如图1－1－88，AB＝DC，BD＝CA. 求证：△AED是等腰三角形．

给学生独立思考时间，再讨论交流，教师要适当引导，进一步规范学生推理过程的书写．

通过本例题，让学生活动

三：

开放

训练

体现

应用

图1－1－88 初步感受反证法的例2

用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．

证明思路与书写的过程，体会反证法的

证明与作用．

【拓展提升】

例3

已知：如图1－1－89，△ABC中，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD＝CE，DE交BC于点M，MD＝ME.求证：△ABC是等腰三角形．

活动

三：

开放

训练

体现

应用

运用本课所学

重点内容进一步加例4

已知在等腰三角形ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，强学生演绎推理证∠C＝72°，请同学们想一想，如何添一条线，将等腰三角明的能力. 形ABC分成两个等腰三角形？成功后，如果再添一条线，能多得到一个等腰三角形吗？还可以继续吗？

图1－1－89

图1－1－90

例5

求证：在一个三角形中，至少有两个内角是锐角．

【当堂训练】

1．在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝5，则AC的长为(

) A．2

B．3

C．4

D．5 2．如图1－1－91，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC的长为半径画圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝(

) 活动

四：

课堂

总结

反思

图1－1－91 A.30°

B．45°

C．60°

D．90°

3．用反证法证明三角形中必有一个内角不小于60°，应先假设这个三角形中(

) A．有一个内角小于60°

B．每个内角都小于60°

C．有一个内角大于60°

D．每个内角都大于60°

4．如图1－1－92，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，MN过点O，且MN∥BC，交AB，AC于点M，N.求证：MN＝BM＋CN.

进一步巩固所学新识，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.

图1－1－92 【板书设计】

第3课时

等腰三角形的判定与反证法

一、复习导入

等腰三角形的性质

二、探究新知

1．等腰三角形的判定

2．反证法

提纲挈领，重三、应用拓展

点突出. 【教学反思】

①[授课流程反思] 本节课利用前一课时所证明的等腰三角形的性质定理，进一步研究等腰三角形的判定定理．在从“等边对等角”过渡到研究“等角对等边”的过程中发展了学生的逆向思维能力，并且学生在证明这一命题时也采用了类比的研究方法；在反证法的学习过程中，学生通过辩论的方式发现了反证法具有意想不到的说理效果，课堂气氛十分活跃. ②[讲授效果反思] 本节课的设计力求实现学生的主体地位，使数学教学成为一种过程教学，让学生在活动中获得知识、形成技能和能力；在教法上采用启发探索式教学模式，整堂课以问题为思维主线，让学生自己去观察、思考、发现、表达，培养学生获取信息、提出问题、分析问题、解决问题、自我反思的能力．

③[师生互动反思] 课堂教学中注重学生的体会与感悟，尽量多的让他们展示自己的体会，关注学生间的评价，特别是在反证法教学时，学生参与积极，气氛活跃，效果很好．

④[习题反思] 好题题号________________________________________ 错题题号________________________________________

反思，更进一步提升.