三角形中的角平分线教学设计(第一课时)

1.4 角平分线

教学设计

【一、教材依据】

本节课是义务教育教科书北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》，第四节角平分线第一课时的内容. 【二、设计思路】

以观察为起点，以问题为主线，以培养能力为核心的宗旨，遵照教师为主导、学生为主体、训练为主线的教学原则，注重了师生互动共同发展的过程. 【三、教材分析】[来源:学。科。网]

本节课是在七年级学***分线的概念、了解角平分线的性质，前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的，内容包括角平分线的性质定理的证明、角平分线的判定定理的证明及其这两个定理的初步应用.本节内容在数学科体系中起到了承上启下的作用，同时教材的安排由浅入深，从易到难，知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律. 【四、学情分析】

对于八年级的学生来说，观察、操作、猜想能力较强，但运用、归纳数学意识的思想较弱，思维的广阔性、灵活性还比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强指导. 【五、教学目标】

知识与能力：理解角平分线的性质定理和判定定理的证明；能初步运用性质或判定解决有关的数学问题.

方法与途径：通过角平分线性质定理和判定定理的推导，培养学生的归纳能力；通过定理的初步应用，培养学生的逻辑推理能力. 情感与评价：使学生在自主探索角平分线的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验；体验获取数学知识的成就感，增强解决问题的自信心. 现代教学手段的运用：熟练使用多媒体. 【六、课型】

新授课. 【七、教学重点】

角平分线的性质和判定的证明；能初步运用性质或判定解决有关的数学问题.

【八、教学难点】

正确地表述角平分线性质定理的逆命题；正确地将文字语言转化为符号语言或者图形语言，对几何命题加以证明；对定理的应用（学生习惯于运用三角形全等来进行证明，相当于是对定理的重复证明. 【九、教学准备】

1.资源收集：课本、导学案、教参、自制教具----角平分线仪等；

2.教具准备：课本、导学案、圆规等；

3.课件制作：PPt. 【十、教学方法】

探索（小组合作）----引导（启发、总结）

【十一、教学设计流程安排】

活动流程图

活动1 情境引入

用，激发学生往下学习的兴趣. 复***分角的各种方法，再用自制活动2 复习与实验

的角平分仪进行实验，在动手操作的过程中培养学生的几何直觉. 学生小组讨论合作，运用三角形全活动3 探索角平分线的性质定理及其简单应用

等的有关知识，归纳、证明角的平分线的性质定理，独立进行简单应用. 学生小组讨论合作，叙述角平分线的性质定理的逆命题，得角平分线活动4 探究角的平分线的判的判定，运用三角形全等的有关知定定理及其简单应用

识，归纳、证明角的平分线的判定定理，独立完成简单应用. 总结、反思将所学知识纳入学生的活动5 回味无穷

知识体系. 进行一组抢答练习，目的是加强学活动6 实践与应用

生对于今天所学两个定理的再次熟拓展与提高

悉和应用. 活动内容和目的

体验角平分线在实际生活中的应【十二、教学过程】

活动一、情景引入：

如图，一目标在A

区，到公路、铁路 距离相等，离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺 1:20 000).

【具体活动】让学生先思考，怎么做？用到了什么知识？从而引入今天的学习内容和学习目标. 【设计意图】让学生感受角平分线在生活实践中的应用. 师生互动，探究新知

活动二、

如图，是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，

BC＝DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两

边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你

能说明它的道理吗?

【具体活动】给学生留时间，可以独立思考，也可以和小组同学讨论完成，学生将实物图抽象出数学图形，学生独立运用三角形全等的方法证明AE是∠BAD的平分线.让一位同学拿着角平分仪进行讲. 【设计意图】说明用其他实验的方法可以将一个角平分.培养学生的抽象思维能力和运用三角形全等的知识解决问题的能力.让学生体验成功. 公路

A区

铁路

活动三、做角平分都有哪些方法？

（1）做好了角平分线，那么角平分线有什么性质呢？

（学生回忆回答）

角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上,PD⊥OA于D，PE⊥OB于E. 求证：PD=PE. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）

∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）

∵ OC是∠AOB的平分∴

∠AOC=∠BOC 在△PDO和△PEO中

∠PDO=∠PEO O12EBDPA线

C

∠AOC=∠BOC OP=OP ∴

△PDO≌△PEO（AAS）

∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）

（2）角平分线性质定理的几何语言是什么？它有什么作用？

用符号语言表示为：

∵OC是∠AOB的角平分线,点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E, ∴PD=PE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等) （3）同学甲、乙谁画得对？

（4）马上实现价值

例1. OM平分∠BOA，P是OM上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D.

E，下列结论中错误的是（ ）

A.PD=PE B.OD=OE O C.∠DPO=∠EPO D.PD=OD

例2. 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，

且BD=CD，DEAB，DFAC，垂足分别为E，F. 求证：EB=FC.

【具体活动】学生分组讨论,教师引导得出结论角平分线的性质，学生分析已知条件,利用(AAS)证明角平分线性质定理.问题（3）让学生分清“到角两边的距离”. “马上实现价值”留给学生足够的时间独立完成，再由一个孩子拿自己做的在实物投影下讲给大家. 【设计意图】从实验探索中发现角的平分线的性质.培养学生的数学抽象概括能力及理性精神.学完一个知识点，就用，给学生加深印象，也为了让学E D A M P B

生体验学习知识就是为了应用. 活动四、（1）我们经常用逆向思维得到一个原命题的逆命题．你能写出这个定理的逆命题吗? 你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？你能证明它吗？

逆命题：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分．．．．．．．．．线上.（简单解释加点的内容）

已知:如图,点P在∠AOB的内部，PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. A 求证:点P在∠AOB的平分线上. D 证明：PD⊥OA，PE⊥OB，

C [来源:学,科,网Z,X,X,K]∴∠PDO=∠ PEO=90°．

在Rt△ODP和Rt△OEP中

OP=OP，

PD=PE，

∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP (HL)．

∴∠AOC=∠BOC(全等三角形对应角相等) 即点P在∠AOB的平分线上. O ·

P E B 逆定理:在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.(也叫角平分线的判定定理）

（2）角平分线判定定理的几何语言是什么？它有什么作用？

用符号语言表示为：

∵点P在∠AOB的内部，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E,且PD=PE. ∴点P在∠AOB的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,

在这个角的平分线上.) （3）马上实现价值

A例3.如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，CD相交于O，且OBOC. D12BE、E求证：12.

OBC【具体活动】先让学生分组讨论，再互相补充，老师引导、补充完成角平分想的判定定理，特别关注“在一个角的内部”. “马上实现价值”留给学生足够的时间独立完成，再由一个孩子拿自己做的在实物投影下讲给大家. 【设计意图】从实验探索中发现角的平分线的判定.培养学生的数学抽象概括能力及理性精神.学完一个知识点，就用，给学生加深印象，也为了让学生体验学习知识就是为了应用. 活动五、回味无穷

1、角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 几何语言: ∵ OC是∠AOB的平分线, 又 PD⊥OA,PE⊥OB ∴ PD=PE(角的平分线上的点到角的两边距离相等). 2、角的平分线的判定定理：

在一个角的内部，且到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 3、对于题中出现角平分线的条件时，我们可以直接利用角平分线的性质定理直接做，不用再找三角形的全等解决了. 归纳、比较

图形

C P

OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB C P

已知PD⊥OA于D 条件

PE⊥OB于E 结论

PD=PE 【具体活动】教师引导学生自己归纳，同学之间互相讨论，总结知识要点、数学思想方法、形成知识体系. 【设计意图】通过小结归纳，完善学生对知识的梳理. A C 活动六、知识应用(抢答时间) P 1、

如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上, E O AB PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm, 则PE=__________cm.

E12D

O

2、如图，CD⊥AB，BE ⊥AC，垂足分别为

D、E，BE、CD相交于点O，且OB=OC. 求证：∠1=∠2.

3. 已知△ABC中,∠C=900,AD平分

∠CAB,且BC=8,BD=5,求点D到AB的距离

A 是 .

4.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，[来源:学科网ZXXK]C D E B

A 点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，

垂足分别为E、F，且DE=DF，求DE的长. E

【具体活动】学生根据前面问题的解决过程独立完成，也可以小组内讨论F 完成．以计时抢答的形式完成. C B D 【设计意图】在已有成功经验的基础上，继续探究与应用，提升分析解决问题的能力并增进运用数学的情感体验．在说理的过程中加深对角平分线性质、判定定理的理解. 【十三、板书设计】

C P

§1.4 角平分线（1）一、

角平分线性质定理

已知：OC是∠AOB的平分线，点P是OC上

的点， PD⊥OA于D，PE⊥OB于E. [来源:学|科|网Z|X|X|K]

结论：PD=PE. 二、

角平分线判定定理

已知：点P在∠AOB的内部，PD⊥OA于D，

结论：点P在∠AOB的平分线上. PE⊥OB于E，PD=PE.