正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系优秀教学设计

圆的有关计算

黄骅市第三中学

姚金霞

【课时目标】

1．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系，能将正多边形问题转化为直角三角形问题．

2．会计算圆的弧长、扇形的面积以及组合图形的周长与面积．

3．理解圆柱、圆锥的侧面展开图，掌握圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算．

【知识梳理】

1．各边_______，各角_______的多边形叫做正多边形，正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的_______．

2．正多边形都是_______对称图形，一个正n边形共有_______条对称轴．如果正n边形的边数为偶数，它又是_______对称图形，那么它的中心就是_______中心．

3．圆的有关计算公式（设半径为R，圆心角的度数为n°）：

(1)圆周长C＝，弧长l＝________．

(2)圆面积S＝________，S扇形＝________＝_______．

4．圆锥：

(1)连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的_______都叫做圆锥的母线，圆锥的母线长_______；连接顶点与_______的线段叫做圆锥的高．

(2)圆锥的侧面展开图是一个________，这个扇形的

_______是圆锥的母线长，_______是圆锥底面圆的周长．

(3)设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，则S圆锥侧＝________，S圆锥全＝________．

【考点例析】

考点一

与正多边形有关的运算

例1正多边形的一个外角等于30°，则这个多边形的边数为

(

)

A．6

B．9

C．12

D．

15

提示

方法一：根据多边形内角和公式表示出内角和，另外根据正多边形的每个外角都相等也可以求出该多边形的内角和，从而列出方程求出方程的解即可；方法二：根据多边形的外角和为360°，正多边形的每个外角都相等，用360÷30即可求出边数．

例2为增加绿化面积，某小区将原来正

方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖．更换后，图中

阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长

都为a，则阴影部分的面积为

(

)

A．2a2

B．3a2

C．4a2

D．5a2

提示

图中阴影部分的面积由一个正方形和四个等腰直

角三角形组成，根据正八边形的边长相等知四个等腰直角三角形可拼接成边长为a的正方形，从而得到阴影部分的面积等于2个边长为a的正方形的面积．

考点二

与弧长有关的运算

例3如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC．若∠ABC＝120°，OC＝3，则BC的长为

(

)

A．π

C．3π

B．2π

D．5π

提示

连接OB，由于AB是切线，那么∠ABO＝90°，

而∠ABC＝120°，易求∠OBC，而OB＝OC，那么∠OBC＝

∠OCB，进而求出∠BOC的度数，再利用弧长公式即可求出BC的长．

例4如图，在由边长为1的正方形组成

的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时

针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为

(

) A．10π

C．

B．D．π

10

3

10π

3

提示

由题意得点A所经过的路径是以C为圆心，CA长为半径，圆心角为60°的弧，而要求顶点A所经过的路径长就是求该孤的长，利用弧长公式l考点三

与扇形面积有关的计算

例5如图，四边形OABC为菱形，点A，

B在以O为圆心的弧上．若OA＝2，∠1＝∠2，则扇形ODE 的面积为

(

) nr计算可得．

180

A．4π

3

B．

D．3π

53

C．2π

提示

连接OB．根据等边三角形的性质可以求得∠AOC＝120°，

再结合∠1＝∠2，即可求得扇形所在的圆心角的度数，从而根据扇形的面积公式进行求解．

考点四

与圆锥的侧面展开图有关的运算

例6

如图，在⊙O中，半径OA＝4，

∠AOB＝120°，用阴影部分的扇形围成的圆锥底面圆的

半径长是

(

)

A．1

B．45

C．

33D．2

提示

设出圆锥的底面圆的半径，利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长列方程求解．

考点五

求阴影部分的面积

例7如图，在△ABC中，BC＝4，以点A

为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交

AC于点F，P是⊙A上的一点，且∠EPF＝45°，则图中阴影

部分的面积为

(

)

A．4－π

B．4－2π

C．8＋π

D．8－2π

提示

连接AD，根据圆周角定理可以求得∠A的度数，进而求得扇形EAF的面积，根据阴影部分的面积＝△ABC的面积－扇形EAF的面积即可求解．

【反馈练习】

1．已知正n边形的一个内角为135°，则边数n的值是

(

)

A．6

B．7

C．8

D．10 2．(2012．湛江)一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为

(

)

A．6 cm

B．12 cm

C．23

cm

D．6cm 3．如图，E是BC的中点，AB是⊙O的直径，AB＝4，∠BED＝120°，则图中阴影部分的面积之和为

(

)

A．1

B．3

2C．3

D．23

4．(1)在半径为1 cm．的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是_______cm(结果保留π)；

(2)一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为_______（结果保留π）．

5．如图，SO、SA分别是圆锥的高和母线．若SA＝12 cm，∠ASO＝30°，则这个圆锥的侧面积是_______cm2（结果保留π）．

6．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6．将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB上的点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积．