8.3 同底数幂的除法教学设计(第一课时)

江苏省教研室·教学新时空

名师课堂·初中数学

8.3同底数幂的除法（2）

执教：泰州市高港实验学校 孙 洁

2019.4.15 教学目标： 1．理解a01、an1（a≠0，n为正整数）规定，初步掌握指数范围扩充后的幂的运算；

an2．在经历零指数幂、负整数指数幂的问题提出与结论形成的过程中，感悟“数学规定”的必要性、合理性和指数范围扩充对幂的运算的影响，学会数学思考、体现数学的理性精神. 教学重点：a01、an1（a≠0，n为正整数）的形成过程. na教学难点：“规定”的必要性与合理性. 教学过程：

一、自主质疑，产生问题

前面我们学习效率同底数幂的除法（复习板书），当时，有同学提出了质疑（PPT“问题再现”），为什么一定要m＞n？m=n或者m

设计意图：基于学生已有认知经验，自主探究，发现用原来学习乘方的意义无法解释零指数幂和负整数指数幂，从而将“要解决同底数幂除法运算法则在m＝n、m＜n时能否运用”的问题，归结为如何解决“0个a相乘没有意义、-1个a相乘没有意义”的问题. 二、合作探究，理解“规定”

mn当m=n或者m

1．对“m＝n”情形的研究

（1）感知“a0=1”的必要性

学生发言，列举出一些具体的数的运算，提出新困惑：如果m＝n时，除法性质成立的话，指数为0的幂应该等于1，有没有道理呢？

设计意图：学生枚举具体算式，发现，如果用同底数幂除法运算性质，通过“算两次”提出“a0=1”的猜想，初步感知“a0=1”的必要性.

1

（2）感知“a0=1”的合理性

数学来源于生活，让我们用数学的眼光来观察生活，让我们来考察一个与乘方有关的实际问题：

①观察下表格：一个某种细胞在分裂时，每隔1分钟由1个细胞分裂为2个，以后每隔1分钟每个细胞再分裂为2，以此下去，写出每次分裂后细胞的个数。

列出细胞个数

写出幂形式

原来

1 ? 第一次

分裂后

2 21 第二次

分裂后

4 22 第三次

分裂后

8

第四次

分裂后

16 ……

当这个细胞没有分裂时（分裂次数为0时），如何描述原来细胞个数呢？

设计意图：问题来源于生活中的数学，用生活中的实例引导学生感知20=1的合理性. ②刚才我们通过一个生活中的实际问题感受到2=1，接下来，让我们借助常见的一种数学工具——数轴再次感受：

观察数轴，找出24、23、22、21

对应点的位置，可以发现什么规律？ 0–3–2–1012345678910111213141516

③再观察下列式子中指数、幂的变化，你发现了什么规律？

2416

238

224

212

（）21

设计意图：借助数学工具，从进一步数学内部感知20=1的合理性.上述三个环节旨在通过不同途径说明“规定”的合理性，培养理性精神. 作出规定：我们通过“算两次”猜想a0=1，并从不同的途径感受到了a0=1是有道理的，于是我们规定（板书）a0=1.（追问：我这样写，你们觉得有什么问题吗？为什么？）

（3）对“a0=1”的多种表征

能不能用语言叙述？

2．对“m

当“m

小组代表发言，得到规定：（板书）an

1.（追问：这样规定严密吗？为什么？）

an2

对“an1”的多种表征

an能不能用语言叙述？

设计意图：基于学生已有经验，引导学生类比a0=1提出“an1”的猜想，并感知结论的必na要性.对学生进行数学学习与研究方法的指导，并渗透“类比”的思想方法. 引导学生通过数轴或观察幂的指数的变化规律，感知结论的合理性，感悟理性精神. 三、自主练习，内化“规定”

计算：（1）a5a0

（a≠0） （2）a5a2（a≠0）

（学生自主完成后与同学交流）

设计意图：学生可根据上面的规定计算，也可根据同底数幂的除法的运算性质计算，发现这个规定与原有的“幂的运算性质”是无矛盾的，从而验证了规定与原有知识体系无矛盾，指数概念和性质得到扩展. 现在让我们再来看一看除法运算性质，你认为可以做出哪些修改？

（在原来板书的运算性质上修改）amanamn（a≠0，m、n为整数）

四、典型例题，深化理解

通过我们的研究，发现幂的指数可以是正整数、0，也可以是负整数，你能把下面的负整数指数幂写成小数或分数的的形式吗？

例1 请你用小数或分数表示下列各数：

235（1）4 （2）3 （3）() （4）3.1410

223接下来，让我们反过来，你能把下列小数或分数写出负整数指数幂的形式吗？

例2 把下列各数写成负整数指数幂的形式：

（1）0.001 （2）0.0000001 （3）1

64设计意图：例1属于定义的运用，还原负整数指数幂表示的数的本来面貌；例2改写成幂的形式，感受负整数指数表达的简约型.从正方两方面进一步巩固规定，例1的（4）、例2的（1）、（2）为下一节课的学习打下了伏笔，可借助例2的（3）进行追问，让学生发现当指数为负整数时，互为相反数的偶次幂仍然是相等的，奇次幂仍然互为相反数，对原有的符号法则进行扩展，培养理性精神. 同学们，我们已经学习了幂的加减乘除和乘方运算，如果幂的指数含有零指数或负整数指数，你还会计算吗？请你编写与一些与零指数、负整数指数相关的计算，考考你的同桌吧！

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学生独立完成后，展台展示. 设计意图：学生自主编题，进一步认识到幂的加减乘除乘方运算中的指数可以扩充到零指数和负整数指数，感悟幂运算法则的推广性，纠正和完善已有认知.

五、小结归纳，梳理建构

通过本节课的学习，

（1）你学到了哪些新知识？对幂的运算有什么认识？

（2）感悟了哪些思想方法？

（3）有没有什么新困惑或问题？

（在学生回答的基础上，教师进行梳理归纳）

设计意图：借助板书带领学生回顾本节课探究新知的流程和方法，将学生碎片化的收获结构化、系统化.

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