5.3 同角三角比的关系和诱导公式优质课一等奖教案

5.3（2）同角三角比的关系与诱导公式

一、教学目标设计

1．掌握诱导公式的推导方法和记忆方法；

2．会运用这些公式求解任意角的三角比的值，会由三角比的值，求特殊角，并会化简单的三角比的关系式；

3．通过公式的探求与应用培养思维的严密性.

三、教学重点及难点

重点：诱导公式

难点：诱导公式的灵活应用

四、教学流程设计

复习公式一引入

根据三角比的定义

和单位圆公式二、三

运用化归思想由公式三导出公式

四

课堂小结，

布置作业

课堂练习

例题分析，运用诱导公式求值、化简及给值求角

五、教学过程设计

一、

复习引入

1．公式一：

sin(2k)sin[来源:Z.xx.k.Com]

cos(2k)cos

2k)tan

tan(

cot(2k)cot（其中k）

用角度可写成：sin(k360)sin

cos(k360)cos

tan(k360)tan

cot(k360)cot（其中kZ）

2 ．讨论

公式一的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0º―360º之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在0º―360º内找出与角终边相同的角，再把它写成诱导公式一的形式，然后得出结果. 这组公式可以统一概括为f(2k)f()(kZ)的形式，上述一组公式叫做任意角三角比的第一组诱导公式，其特征是：等号两边是同名三角比，且符号都为正. 说明]运用公式时，注意“弧度”与“角度”两种度量制不要混用，如写成sin(802k)sin80，cos( 二、学习新课

1．公式推导

公式二：

3k360)cos3是不对的．

y

P(x,y)



sin(）-sin cos(）cos M

P’(x，-y)

O





x

它说明角-与角的正弦值互为相反数，而它们的余弦值相等．这是因为，若角的终边与单位圆交于点P(x，y)，则角-的终边与单位圆的交点必为P´(x，-y)（如图1）．由正弦、余弦三角比的定义，即可得

sin=y， cos=x,[来源:学科网]

sin(-)=-y, cos(-)=x,

所以：sin(-)= -sin, cos(-)= cosα

由三角比的商数关系，得：tan()sin()sintan

cos()cos

即 tan(）tan

类似可得cot()cot

这组公式叫任意角三角比的第二组诱导公式

练习：求3的正弦、余弦、正切和余切的值. [说明]公式二也可以由特殊到一般，既从特殊三角比的计算，猜测出公式，再证明. 公式三：

用角度可表示如下：

y

sin(）-sin sin(180）-sin

cos(）-cos cos(180）-cos

tan(）tan tan(180）tan

cot()cot cot(180)sin

它刻画了角180º+与角的正弦值（或余弦值）之间的关系，这个关系是：以角终边的反向延长线为终边的角的正弦值（或余弦值）与角的正弦值（或余弦值）是一对相反数．这是因为若设的终边与单位圆交于点P( x，y)，则角终边的反向延长线，即180º+角的终边与单位圆的交点必为P´(-x，-y)（如图2）．由正弦、余弦三角比的定义，即可得sin=y，

cos=x,sin(180º+)=-y, [来源:学科网ZXXK]P(x,y)

M

18







M’

O

x

P’(-x，-y)

[来源:学,科,网Z,X,X,K]cos(180º+)=-x,

所以 :sin(180º+)=-sin，cos(180º+)=-cos．

[说明]公式二、三的获得主要借助于单位圆及正弦、余弦比的定义．根据点P的坐标准确地确定点P´的坐标是关键，这里充分利用了对称的性质．直观的对称形象为我们准确写出P´的坐标铺平了道路，体现了数形结合这一数学思想的优越性. 练习：求下列三角比的值：

（1）cos210；

 (2)sin5

4分析：本题是诱导公式二的巩固性练习题．求解时，只须设法将所给角分解成180º+或（π+），为锐角即可．

解：（1）cos210º=cos(180º+30º)=－cos30º=－3；

2

（2）sin公式四：

52=sin()=－sin=－. 4442 把第三组公式中的换成，得第四组诱导公式：[来源:学科网]

sin(）sin sin(180）sin

cos(）-cos cos(180）-cos

tan(）tan tan(180）tan

cot()cot cot(180)cot

[说明]这组公式均可由前面学过的诱导公式直接推出，体现了把未知问题化为已知问题处理这一化归的数学思想.公式的推导并不难，然而推导中的化归意识和策略是值得我们关注的. 四组诱导公式可概括为：

k·360º+（k∈Z），-，180º±，360º-的三角比值，等于的同名三角比的值，前面加上一个把看成锐角时原三角比的符号. [说明]这里的“同名三角比值”是指等号两边的三角比名称相同；“把看成锐角”是指原本是任意角，这里只是把它视为锐角处理；“前面加上一个……符号”是指的同名三角比值未必就是最后结果，前面还应添上一个符号（正号或负号，主要是负号，正号可省略），而这个符号是把任意角视为锐角情况下的原三角比的符号.应注意讲清这句话中每一词语的含义，特别要讲清为什么要把任意角α看成锐角．建议通过实例分析说明. 练习：求下列各式的值：（1）sin(－4)；(2)cos(－60º)－sin(－210º) 3分析：本题是诱导公式二、三的巩固性练习题．求解时一般先用诱导公式三把负角的正弦、余弦化为正角的正弦、余弦，然后再用诱导公式二把它们化为锐角的正弦、余弦来求．

解：（1）sin(－43)=－sin()=sin=；

3332（2）原式=cos60º+sin(180º+30º)=cos60º－sin30º=2．例题分析

例1：利用诱导公式，求下列各三角比：

11－=0 22

（1）sin2613)

； （2）tan(34例2化简：

cos(2)cot()tan()

sin()cot(3)例3根据条件，求角x：

（1）

已知sinx1,x[0,2)；

2（2）已知tanx3,x[,). 3[说明]由三角比求特殊角的问题，是个“反”问题，对学生是个难点问题，教师可先缩小范围，如考虑在[0，三、巩固练习

P49 练习 5.3(2) 四、课堂小结

2]上，求角，再考虑[0,2)等. 通过本节课的教学，我们获得了诱导公式.值得注意的是公式右端符号的确定.在运用诱导公式进行三角比的求值或化简中，我们又一次使用了转化的数学思想.通过进行角的适当配凑，使之符合诱导公式中角的结构特征，培养了我们思维的灵活性. 五、作业布置

习题5.3 A组:1;4(1)(2);5 B组:1;4