2.3.1 双曲线的标准方程教学实录

2．3.1

双曲线的标准方程

学习目标

1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．

知识点一

双曲线的定义

思考

已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？

(1)|x＋52＋y2－x－52＋y2|＝6；

(2)x＋42＋y2－x－42＋y2＝6.

梳理

把平面内与两个定点F1，F2距离的________________等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做________________，________________叫做双曲线的焦距．

知识点二

双曲线的标准方程

思考1

双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？

思考2

如图，类比椭圆中a，b，c的意义，你能在y轴上找一点B，使OB＝b吗？

梳理

标准方程

焦点

焦距

焦点在x轴上

x2y2－＝1(a>0，b>0)

a2b2F1(－c,0)，F2(c,0)

焦点在y轴上

y2x2－＝1(a>0，b>0) a2b2F1(0，－c)，F2(0，c)

F1F2＝2c，c2＝a2＋b2

类型一

求双曲线的标准方程

例1

求下列双曲线的标准方程：

y2x2(1)与椭圆＋＝1有公共焦点，且过点(－2，10)；

2516(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；

1516(3)过点P(3，)，Q(－，5)，且焦点在坐标轴上．

43

反思与感悟

待定系数法求方程的步骤

(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．

(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，

①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．

x2y2x2y2②与双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线的标准方程可设为2－2＝1(－b2＜aba－kb＋kk＜a2)．

(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．

(4)结论：写出双曲线的标准方程．

跟踪训练1

根据条件求双曲线的标准方程：

(1)c＝6，经过点A(－5,2)，焦点在x轴上；

(2)经过点P(4，－2)和点Q(26，22)；

x2y2(3))已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(15，4)．

2736

类型二

由方程判断曲线的形状

例2

已知0°<α<180°，当α变化时，方程x2cos α＋y2sin α＝1表示的曲线怎样变化？

反思与感悟

像椭圆的标准方程一样，双曲线的标准方程也有“定型”和“定量”两个方面的功能：①定型：以x2和y2的系数的正负来确定；②定量：以a、b的大小来确定．

x2y2跟踪训练2

已知曲线－＝1. 16－mm(1)当曲线为椭圆时，求m的取值范围，并写出焦点坐标；

(2)当曲线为双曲线时，求m的取值范围，并写出焦点坐标．

类型三

双曲线的定义及应用

命题角度1

焦点三角形问题

x2y2例3

(1)如图，已知双曲线的方程为2－2＝1(a>0，b>0)，点A，B均在双曲线的右支上，ab线段AB经过双曲线的右焦点F2，AB＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为________．

引申探究

在本例(2)中，若∠F1PF2＝90°，其他条件不变，求△F1PF2的面积．

x2y2(2)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，916则△F1PF2的面积为________．

反思与感悟

求双曲线中焦点三角形面积的方法

(1)方法一：①根据双曲线的定义求出|PF1－PF2|＝2a；

②利用余弦定理表示出PF1，PF2，F1F2之间满足的关系式；

③通过配方，利用整体的思想求出PF1·PF2的值；

④利用公式S1＝×PF1·PF2sin∠F1PF2求得面积．

PF1F221＝×F1F2×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积．

PF1F22(2)方法二：利用公式S特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1－PF2|＝2a2的变形使用，特别是与PF2PF2间的关系．

1＋PF2，PF1·跟踪训练3

已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左，右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则PF1·PF2＝________.

命题角度2

由双曲线定义求轨迹方程

例4

已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________．

反思与感悟

定义法求双曲线方程的注意点

(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值．

(2)当差的绝对值为常数时，要注意常数与两定点间距离的大小问题．

(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上．

x2y2跟踪训练4

设F1，F2是双曲线－＝1的左，右焦点，P是双曲线左支上一点．若PF1、445PF2、F1F2成等差列，且公差大于0，则∠F1PF2＝________.

1．已知双曲线中的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为________________________．

x2y2x2y22．椭圆＋2＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a＝________. 4aa2x2y23．若方程＋＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．

10－k5－ky24．设F1，F2分别是双曲线x－＝1的左，右焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1＝4PF2，242则△PF1F2的面积为________．

5．求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上；

(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)；

x2y2(3)以椭圆＋＝1长轴的顶点为焦点，且过(3，10)．

85

1．在双曲线定义中|PF1－PF2|＝2a(2a

2．在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2. 3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组．

如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式求解．

提醒：完成作业

第2章

§2.3

2.3.1

答案精析

问题导学

知识点一

思考

(1)∵|x＋52＋y2－x－52＋y2|表示点P(x，y)到两定点F1(－5,0)、F2(5,0)的距离之差的绝对值，F1F2＝10，

∴|PF1－PF2|＝6

故点P的轨迹是双曲线．

(2)∵x＋42＋y2－x－42＋y2表示点P(x，y)到两定点F1(－4,0)、F2(4，0)的距离之差，F1F2＝8，

∴PF1－PF2＝6

故点P的轨迹是双曲线的右支．

梳理

差的绝对值

双曲线的焦点

两焦点间的距离

知识点二

思考1

在双曲线标准方程中，x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴．当x2的系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关．

思考2

以双曲线与x轴的交点A为圆心，以线段OF2为半径画圆交y轴于点B，此时OB＝b.

题型探究

x2y2例1

解

(1)方法一

椭圆＋＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)．

1625y2x2设双曲线的标准方程为2－2＝1(a>0，b>0)，

ab104a2－b2＝1，则有

a2＋b2＝9，2a＝5，解得2

b＝4.

y2x2故所求双曲线的标准方程为－＝1. 54

x2y2方法二

由椭圆方程＋＝1知，焦点在y轴上，

1625y2x2设所求双曲线方程为－＝1(16<λ<25)．

25－λλ－16因为双曲线过点(－2，10)，

104所以－＝1，

25－λλ－16解得λ＝20或λ＝7(舍去)，

y2x2故所求双曲线的标准方程为－＝1. 54(2)因为双曲线经过点M(0,12)，所以M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12. 又2c＝26，所以c＝13，

所以b2＝c2－a2＝25. y2x2所以双曲线的标准方程为－＝1. 14425(3)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．

1516因为点P(3，)，Q(－，5)在双曲线上，

43所以2569m＋25n＝1，2259m＋n＝1，16

解得1n＝9.1m＝－，16

y2x2故所求双曲线的标准方程为－＝1. 916x2y2跟踪训练1

解

(1)设双曲线标准方程为2－2＝1(a>0，b>0)，

ab∵c＝6，∴b2＝c2－a2＝6－a2. 254254由题意知2－2＝1，∴2－＝1，

aba6－a2解得a2＝5或a2＝30(舍)．

x22∴b＝1.∴双曲线的标准方程为－y＝1. 52(2)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．

∵点P(4，－2)和点Q(26，22)在双曲线上，

16m＋4n＝1，∴24m＋8n＝1，

m＝8，解得1n＝－4，1

x2y2∴双曲线的标准方程为－＝1. 84x2y2(3)椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，

2736y2x2故可设双曲线的标准方程为2－2＝1. aba＋b＝9，由题意，知42152

a2－b2＝1，2a＝4，解得2

b＝5.22

y2x2∴双曲线的标准方程为－＝1. 45x2y2例2

解

(1)当0°<α<90°时，方程为＋＝1. 11cos αsin α11①当0°<α<45°时，0<<，方程表示焦点在y轴上的椭圆．

cos αsin α②当α＝45°时，方程表示圆x2＋y2＝2. 11③当45°<α<90°时，>>0，方程表示焦点在x轴上的椭圆．

cos αsin α(2)当α＝90°时，方程为y2＝1.方程表示两条平行直线y＝±1. y2x2(3)当90°<α<180°时，方程为－＝1，方程表示焦点在y轴上的双曲线．

11sin α－cos α16－m>0，跟踪训练2

解

(1)当曲线为椭圆时，依题意得－m>0，16－m≠－m，解得m<0，即m的取值范围为(－∞，0)．

此时，椭圆的焦点在x轴上，焦点坐标为(±4,0)．

(2)当曲线为双曲线时，依题意得(16－m)m>0，

解得0

此时，双曲线的焦点在x轴上，焦点坐标为(±4,0)．

例3

(1)4a＋2m

(2)163 引申探究

解

由双曲线方程知a＝3，b＝4，c＝5. 由双曲线的定义得|PF1－PF2|＝2a＝6，

2所以PF2PF2＝36.①

1＋PF2－2PF1·

在Rt△F1PF2中，由勾股定理，

222得PF21＋PF2＝F1F2＝(2c)＝100.②

将②代入①，得PF1·PF2＝32. 所以S1＝PF·PF2＝16. F1PF221跟踪训练3

4 y2例4

x－＝1(x≤－1) 82跟踪训练4

120°

当堂训练

x2y2y2x21.－＝1或－＝1

2.1 252425243．(5,10)

4.24 5．解

(1)由题设知，a＝3，c＝4. 由c2＝a2＋b2，得b2＝c2－a2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在x轴上，

x2y2所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 97(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上．

因为点A(－5,6)在双曲线上，

所以2a＝|－5－02＋6＋62－－5－02＋6－62| ＝|13－5|＝8，

则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20. y2x2所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 1620(3)由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且c＝22. x2y2设双曲线的标准方程为2－2＝1(a>0，b>0)．

ab则有a2＋b2＝c2＝8.因为过点(3，10)，

910所以2－2＝1，解得a2＝3，b2＝5. abx2y2所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 35