2.2.2 椭圆的几何性质优秀教案范文

圆锥曲线中的定点问题

教学目标

1.掌握求圆锥曲线定点问题的一般方法；

2.能够选择合适的方法求解定点问题；

3.掌握特殊化的思想方法. 教学重难点：掌握求定点问题的两种方法；熟练掌握计算过程. 教学过程

x2y21，F为其右焦点，直线m为右准线，直线l过点F，且与椭圆例1 已知椭圆C：43C交于A、B两点，点A在m上的射影为D，求证：直线BD过定点. 设计意图：题目来源于作业.从作业反馈情况来看效果并不理想.主要针y对学生的方法选择和计算方式进行设计.先猜后证是解决定点定值问题常用的方法.有关直线过定点问题通过可以通过直接求解出直线过定点，也可以先求出定点，再通过证明三点共线的方法去求解，本题主要解决FO最基本的直线过定点问题. 解：由题意F(1,0)，直线m的方程为x4.根据对称性可知定点在x轴B上，当AB斜率不存在时，设A(1,)，B（1,)，直线BD方程为ADxm323255yx过点T(,0).当BD斜率为0时显然也过点T.下面主要考虑斜率存在且不为0的情22况. 若直线AB斜率不为0，设AB：xmy1(m0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(4,y1).由x2y21,得(3m24)y26my90，则yy6m，yy9，412123223m43m4xmy1,3y1y2(y1y2). 2m解法一：直线BD的方程为yy1y2y1y(x4)(x4).令y0，得x412x24y2y13(y1y2)3y1y1(my23)my1y23y1552444.则BD过定点T(,0). y2y1y2y1y2y122解法二：kBTkDTy2x252y145210y16y24x2y110y16y24(my21)y13(2x25)3(2x25)6(y1y2)4my1y23(2x25)6(6m9)4m()3m243m240.所以kk，所以BTDT3(2x25)B、D、T三点共线.即BD过定点T(,0). 52

解法三：BT(x2,y2)DT(,y1).(x2)(y1)()(y2)x2y1535353y1y2222222533936m(my21)y1y1y2my1y2(y1y2)m(2)(2)0，所以2223m423m4BT与DT共线，又有公共点T，所以B、D、T共线.

x2y21，例2 已知椭圆C：F为其右焦点，直线l过点F，且与椭圆C交于A、B两点，43是否存在长轴上的一定点P（不包括端点）满足PAPB是定值. 设计意图：题目同样来源于作业，学生完成较差，主要还是引导学生通过先猜后证的方法解决该问题.此外，学会寻根溯源的解题方式. 解法一：由题意F(1,0).假设存在点P满足题意，设P(t,0)，yt(2,2). 考虑特殊情况：若AB斜率不存在，设A(1,)，B(1,).则3232AFx335PAPB(1t,)(1t,)t22t.若AB斜率为0，设224A(2,0)，B(2,0)，PAPB(2t,0)(2t,0)t4，则2POBt22t5211135. t4，则t，此时PAPB4864x2y2若AB斜率存在且不为0，设AB：xmy1(m0)，A(x1,y1)，B(x2,y2).由431,xmy1,6m9得(3m24)y26my90，则y1y22，y1y22，3m43m4111133PAPB(x1,y1)(x2,y2)(my1)(my2)y1y2888839936m9135为(m21)y1y2m(y1y2)(m21)(2)m(2)8643m483m4646411定值，所以存在点P(,0)满足题意. 8解法二：设P(t,0)，则PAPB(x1t,y1)(x2t,y2)(my11t)(my21t)y1y2(m21)y1y2(1t)m(y1y2)(1t)2(m21)(93m24)(1t)m(6m)(1t)223m43m2(2t5)9118t112118t0(1t)2(2t5).当即时，(1t)t223m43m4813511为定值.所以存在点P(,0)满足题意. PAPB648课堂小结

求圆锥曲线中有关定点问题的方法：特殊化法，即先猜后证；直接计算，寻求定值.