1.4.3 含有一个量词的命题的否定第二课时教学实录

1.4.3含有一个量词的命题的否定

一、教材分析 “含有一个量词的命题的否定”是数学选修2-1第一章第四节的内容，第一课时的主要内容是全称量词与存在量词的概念．第二课时主要是含有一个量词的命题的否定．它包括两块内容：其一是含有一个全称量词的命题的否定，其二是含有一个存在量词的命题的否定.教科书在分析“探究”中全称命题和特称命题时，并没有直接给出这些命题的否定的最终表述形式，而是根据全称量词和存在量词的含义，直接对原先的命题进行全盘否定，得到这些命题的否定的一种表述形式.需要强调的是，这些表述过于形式化，不自然也不符合日常语言表达的习惯，多以最后进一步将这些表述改写成常用的表述形式.为此，教科书在“探究”后的分析中，先后用了六个“也就是说”.这样处理一方面让学生体会如何用间接、自然的语言表达数学内容；另一方面，通过这些命题的否定的最终表述，学生很容易观察出原先的命题和它们的否定在形式上的变化，从而降低了学生的认知难度. 教学目标

知识与能力：

（1）通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律． （2）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式

上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定． 过程与方法：

使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力． 情感态度与价值观：

通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进

行辩证唯物主义思想教育．

重 点：全称命题与特称命题间的转化；

二、学情分析

知识：学生在前面已经学习了全称命题，特称命题的形式和命题的否定

能力：学生已具备抽象概括和归纳总结的能力

不足：学生学习上粗心，对知识理解不透彻

难 点：正确地对含有一个量词的命题进行否定

三、教学策略、学习策略

引导式教学，学生自主学习

四、教学过程

1、复习旧知，引入新课：

（1）命题的否定

对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，成为p的否定，记作p （2）写出下列命题的否定

①菱形都是平行四边形

②空集是任何集合的真子集。

数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与特称命题.在全称命题与特称命题的逻辑关系中，pq,pq都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在. 【设计意图】复习旧知，做好铺垫。创设问题情境，激发兴趣, 增强学生的求知欲望．

2、探究新知: 问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定. （1）所有的菱形都是平行四边形；

[来源:学.科.网]

（2）任意一个集合，空集是它的真子集。

（3）xR，x-2x+1≥0 分析：（1）xM,p(x)，否定：存在一个菱形不是平行四边形；xM,p(x)

（2）xM,p(x)，否定：存在一个集合，空集不是它的真子集；xM,p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了特称命题. 练习(1)p：所有能被３整除的整数都是奇数；

(2)

p：每一个四边形的四个顶点共圆

；

(3)

p：

x



Z，x2的个位数字不等于３．

师生探究

2

问题2：写出命题的否定

（1）p：有些实数的绝对值是正数

（2）p：某些平行四边形是菱形

2（3）p：

x0R,x010分析：（1）所有实数的绝对值都不是正数源:学,科,网]

（2）所有的平行四边形都不是菱形

（3）

x0R,x010

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

结论：从命题形式上看，这三个特称命题的否定都变成了全称命题. 【设计意图】引导学生分析实例，让学生从事例中抽象出数学知识，得出本节课所要学习的含有量词的命题的否定．

3.理解新知：

（1）全称命题、存在性命题的否定

一般地，全称命题P： xM,有P（x）成立；其否定命题┓P为：x∈M,使P（x）不成立.存在性命题P：xM，使P（x）成立；其否定命题┓P为：

xM,有P（x）不成立. 用符号语言表示：

P:M, p(x）否定为 P: M,  P（x）

P:M, p(x）否定为 P: M,  P（x）

在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定.即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.

（2）关键量词的否定

词语

词语的否不是

定

至多有一词语

必有一个

至少有n个

个

所有x成立

立

定

有

个

个

成立

成立

所有x不成

一定不是

不都是

小于或等于

大于或等于

或

是

一定是

都是

大于

小于

且

2词语的否一个也没至多有n-1至少有两存在一个x不存在有一个

【设计意图】让学生从理论上掌握含有一个量词的命题的否定形式，并且学会写出含有量词的命题的否定的基本依据．

4.运用新知：

例1 写出下列全称命题的否定：

（1）p：任意素数都是奇数；

（2）p：每个函数都是指数函数；

（3）p：所有实数的绝对值都不是正数；

（4）p：每一个平行四边形都不是菱形；

（5）p：

xR,x210分析：（1）

P：存在一个素数不是奇数；（2）存在一个函数不是指数函数；（3）存在一个2实数的绝对值是正数；（4）存在一个平行四边形是菱形；（5）

x0R,x010例2 写出下列特称命题的否定. （1）有的三角形是等边三角形. （2）有一个素数含三个正因数. （3） x0R，x022x020．解：（1）否定：所有的三角形都不是等边三角形. （2）否定：每一个素数都不含三个正因数. （3）否定：

xR，x22x20．【设计意图】解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x＞9”.在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式. 例3 写出下列命题的否定. （1）

任意两个等边三角形都是相似的. （2） x0R，x022x020．【设计意图】命题的否定与否命题是完全不同的概念.其理由：

1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的. 2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假. 3．

原命题“若P则q” 的形式，它的非命题“若p，则q”；而它的否命题为

“若┓p，2

则┓q”，既否定条件又否定结论. 5.练习反馈

练习1：

写出下列命题的否定,并判断其真假：

（1）一切分数都是有理数; （2）有些三角形是锐角三角形; （3）

∃x∈R, x²+x=x+2; （4）

∀x∈R, 2x+4≥0. 练习2;写出下列命题的否定,并判断其真假：

（1）任意实数x,都是方程3x-5=0的根; （2）

∀x∈R, x²>0; （3）

∃x∈R, x²=1; （4）

∃x∈R, 是方程 x²-3x+2=0的根. 6.随堂练习：

1．（安徽理7）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（ ）

（A）所有不能被2整除的数都是偶数

（B）所有能被2整除的整数都不是偶数

（C）存在一个不能被2整除的数都是偶数

（D）存在一个能被2整除的数不是偶数

2．（湖南卷理2）下列命题中的假命题是（ ）

A.xR,20C.xR,lgx1

x1B.xN,(x1)20D.xR,tanx23．命题“对任何 2x43”的否定是________。

xR，x4．命题“存在x∈R，使得x +2x+5=0”的否定是 . 7.课堂小结：

教师提问：如何写出含有一个量词的命题的否定，原先的命题与它的否定在形式上有什么变化？

学生作答：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.

教师总结: 一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

2

全称命题P：

xM,p(x)

xM,p(x)它的否定￢P：

特称命题P：xM,p(x)

它的否定￢P：x∈M，￢P(x) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.否定时既要否定量词，又要否定性质，所以找出量词，明确命题所提供的性质是解题的关键.

【设计意图】归纳整理本节课所学知识．

8.布置作业：

1．

阅读课本P24—P25；

2．

必做题：课本26页

习题1.4 A组

第3题．

3．选做题：课本27页

习题1.4 B组（1）（2）（3）（4）．

【设计意图】设计作业必做题1，2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯．书面作业的布置，是为了让学生掌握含有量词的命题的否定怎么去写；选做题的安排，是让学生进一步熟悉含有量词的命题的否定形式，以及如何去判断真假，巩固所学知识．

七、教后反思: 在教学中，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力.来源

八、板书设计: 1．4．3

含有一个量词的命题的否定

1.

全称命题、特称命题的否定．

例1

例3

练习：（课件投影学生口述）

P:M, p(x）否定为

P: M, 

P（x）

P:M, p(x）否定为

P: M, 

P（x）

2.

关键量词的否定

例2