3.1.2 空间向量的数乘运算课件配套优秀公开课教案设计

3.1.1空间向量及其加减运算

3.1.2空间向量的数乘运算

教学目标：

㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；

㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会

用联系的观点看待事物．

教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．

教学难点：应用向量解决立体几何问题．

教学方法：讨论式．

教学过程：

Ⅰ.复习引入

［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学***面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？

［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：

①用有向线段表示；

②用字母a、b等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：AB．

［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．

［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：

⒈向量的加法：

1

⒉向量的减法：

⒊实数与向量的积：

实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：

(1)|λa|＝|λ||a|

(2)当λ＞0时，λa与a同向；

当λ＜0时，λa与a反向；

当λ＝0时，λa＝0.

［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？

［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律

加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）

数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb

［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本

Ⅱ.新课讲授

［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？

［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．

［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．

［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？

［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：

OBOAAB=a+b，

，

ABOBOA（指向被减向量）

2

OPλa

(R)

［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．

［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：

⑴加法交换律：a + b = b + a；

⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（课件验证）

⑶数乘分配律：λ(a + b)

=λa +λb．

［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：

⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：

A1A2A2A3A3A4An1AnA1An

因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．

⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：

A1A2A2A3A3A4An1AnAnA10．

⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．

因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．

例１已知平行六面体ABCDA'B'C'D'（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：

⑴ABBC；⑵ABADAA'；

1⑶ABADCC'2

1⑷(ABADAA')．

3说明：平行四边形ABCD平移向量

a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD—A’B’C’D’．

平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．

说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六

3

面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．

例2、如图中，已知点O是平行六面体ABCD－A1B1C1D1体对角线的交点，点P是任意一点，则．

分析：

将要证明等式的左边分解成两部分：与，第一组向量和中各向量的终点构成平行四边形ABCD，第二组向量和中的各向量的终点构成平行四边形A1B1C1D1，于是我们就想到了应该先证明：

解答：

将以上所述结合起来就产生了本例的证明思路．

设E，E1分别是平行六面体的面ABCD与A1B1C1D1的中心，于是有

3. 1.2空间向量的数乘运算

教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；

2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．

教学重、难点：共线、共面定理及其应用．

4

教学过程：

（一）复习：空间向量的概念及表示；

（二）新课讲解：

1．共线（平行）向量：

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：a平行于b，记作：a//b．

2．共线向量定理：

对空间任意两个向量a,b(b0),a//b的充要条件是存在实数，使ab（唯一）．

推论：如果l为经过已知点A，且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式OPOAtAB①，其中向量a叫做直线l的方向向量。在l上取ABa，则①式可化为OPOAtAB或OP(1t)OAtOB②

lPBAa11当t时，点P是线段AB的中点，此时OP(OAOB)③

22①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB的中点公式．

3．向量与平面平行：

O已知平面和向量a，作OAa，如果直线OA平行于或在内，那么我们说向量a平行于平面，记作：a//．

通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．

说明：空间任意的两向量都是共面的．

4．共面向量定理：

a

a



如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使pxayb．

推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使MPxMAyMB对空间任一点O，有OPOMxMAyMB①

上面①式叫做平面MAB的向量表达式．

（三）例题分析：

例1．已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件OP或122OAOBOC，

5555

试判断：点P与A,B,C是否一定共面？

解：由题意：5OPOA2OB2OC，

∴(OPOA)2(OBOP)2(OCOP)，

∴AP2PB2PC，即PA2PB2PC，

所以，点P与A,B,C共面．

【练习】：对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式OPxOAyOBzOCxyz1）的四点P,A,B,C是否共面？

解：∵OP(1zy)OAyOBzOC，

∴OPOAy(OBOA)z(OCOA)，

∴APyABzAC，∴点P与点A,B,C共面．

例2．已知ABCD，从平面AC外一点O引向量

OEkOA,OFKOB,OGkOC,OHkOD，

（1）求证：四点E,F,G,H共面；

（2）平面AC//平面EG．

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴ACABAD，

∵EGOGOE，

kOCkOAk(OCOA)kACk(ABAD)k(OBOAODOA)OFOEOHOE

EFEH∴E,F,G,H共面；

（2）∵EFOFOEk(OBOA)kAB，又∵EGkAC，

∴EF//AB,EG//AC

所以，平面AC//平面EG．

课堂练习：

6

（其中

课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；

2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．

作业：

1．已知两个非零向量e1,e2不共线，如果ABe1e2，AC2e18e2，AD3e13e2，

求证：A,B,C,D共面．

2．已知a3m2n4p,b(x1)m8n2yp，a0，若a//b，求实数x,y的值。

3．如图，E,F,G,H分别为正方体AC1的棱A1B1,A1D1,B1C1,DC11的中点，

求证：（1）E,F,D,B四点共面；（2）平面AEF//平面BDHG．

4．已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点，

（1）用向量法证明：E,F,G,H四点共面；

（2）用向量法证明：BD//平面EFGH．

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