小结教学目标设计

3.2

《立体几何中的向量方法》第二课时教学设计

一、教材分析

1.教学内容

本节内容选自普通高中课程标准实验教科书《数学》人教A版

选修2-1

第三章

3.2节立体几何中的向量方法的第二课时。本节课的主要内容是运用空间向量证明线线

、线面位置关系及求角和距离。

2.

教材的地位与作用

证明空间线线

、线面位置关系及求角和距离问题是高考考查的重点内容，考查形式灵活多样，常与探索性问题、平行问题、空间角问题结合，考查形式可以是小题，也可以是解答题的一部分，或解答题的某个环节，题目不难，是高考中的重要得分点。

空间向量是处理空间线线、线面、面面位置关系、夹角和距离的重要工具。在高中阶段，空间向量在立体几何中的应用，主要有两方面：一是，利用空间向量的垂直平行，解决立体几何中垂直、平行问题。二是，利用空间向量的夹角求立体几何中异面直线所成角及距离问题；

运用向量方法研究立体几何问题思路简单，模式固定，避免了几何法中作辅助线的问题，从而降低了立体几何问题的难度。

二、学情分析

授课班级大多数学生学习态度端正，学习积极性较高，但学习习惯不是很好。学生普遍在逻辑思维及运算能力方面较为薄弱，大部分学生还存在依懒性，不愿意自己探究。

三、教法分析

1. 教学目标确定。分两个层次：第一层次是认知目标，利用空间向量证明线线、线面位置关系；第二层次是能力目标，培养学生数形结合的能力和研究问题的能力。

2. 突出重点。例题、练习围绕建立恰当的空间直角坐标系，运用空间向量证明线线

、线面位置关系及求角这一主线而设计。

3.采用多媒体辅助教学，有效增强了图形的立体感，提升学生的空间想象力。

四、教学目标

1.知识技能

（1）进一步理解向量平行、垂直的充要条件；

（2）利用向量证明线线

、线面位置关系及求角；

（3）利用向量解决立体几何问题，培养学生数形结合的思想方法。

2.过程与方法

通过学生对空间几何图形的认识，建立恰当的空间直角坐标系，利用向量的坐标将几何问题代数化，提高学生应用知识的能力。

3.

情感态度与价值观

通过空间向量在立体几何中的应用，让学生感受数学、体会数学的美感，从而激发学数学、用数学的热情。

五、教学重难点

教学重点：建立恰当的空间直角坐标系，用向量证明线线

、线面位置关系及求角。

教学难点：建立恰当的空间直角坐标系，直线的方向向量；正确写出空间向量的坐标。

六、教学过程

1、主干知识回顾

1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法

设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1).平面α、β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)(以下相同).

1

(1)线面平行

l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (2)线面垂直

l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2. (3)面面平行

α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3. (4)面面垂直

α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0. 2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算

设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2).平面α、β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同). (1)线线夹角

π设l，m的夹角为θ(0≤θ≤)，则

2|a1a2＋b1b2＋c1c2||a·b|cos θ＝＝22222. |a||b|a1＋b2＋ca＋b＋c11222

(2)线面夹角

π设直线l与平面α的夹角为θ(0≤θ≤)，

2|a·μ|则sin θ＝＝|cos〈a，μ〉|. |a||μ|

（3）面面夹角

设半平面α、β的夹角为θ(0≤θ≤π)，

|μ·v|则|cos θ|＝＝|cos〈μ，v〉|. |μ||v|

提醒

求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析. 2、讲解例题

热点一

利用向量证明平行与垂直

【例1】

如图，在直三棱柱ADE—BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点. 运用向量方法证明：

(1)

OM∥平面BCF；

(2)

平面MDF⊥平面EFCD.

2

热点二

利用向量求空间角

【例2】

(2016·全国Ⅱ卷)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，5AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点4H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.OD′＝10. (1)证明：D′H⊥平面ABCD；

(2)求二面角B－D′A－C的正弦值.

【例2-1】(2016·全国Ⅲ卷)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，N为PC的中点. (1)证明MN∥平面PAB；

(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值. AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，

热点三

利用空间向量求解探索性问题

【例3】(2016·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝(1)求证：PD⊥平面PAB；

(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？

AM若存在，求的值；若不存在，说明理由.

AP5.

3

【例3-1】

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，PA＝PD＝2，BC＝1AD＝1，CD＝3. 2(1)求证：平面PQB⊥平面PAD；

(2)在棱PC上是否存在一点M，使二面角

M－BQ－C为30°，若存在，确定M的位置；

若不存在，请说明理由.

3、课堂小结

空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法. 4、课后作业

【真题】(2016·浙江卷)如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3. (1)求证：BF⊥平面ACFD；

(2)求二面角B－AD－F的平面角的余弦值.

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