3.1.3 导数的几何意义第二课时教案

《导数的几何意义》教学设计

台山台师高级中学

黄辉胜

一、教学目标：

1、知识与技能

:

理解导数的几何意义；

2、过程与方法：

经历导数几何意义的学习过程，体会用导数的几何意义分析图象上点的变化情况的方法。

3、情感态度与价值观：

体会导数与曲线的联系，初步认识数学的科学价值，发展理性思维能力。

二、教学重点：

理解导数的几何意义；

三、教学难点：

理解函数的导数就是在某点处的切线的斜率。

四、教具准备：多媒体课件，三角板。

五、教学过程设计：

教学环节

教学活动

圆与圆锥曲线的切线定义:与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线叫切线

曲线的切线

如图，设曲线c是函数yf(x)的图象，点P(x0,y0)是曲线

c 上一点作割线PQ当点Q 沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处的切线

为课题(1)复

引入作习引入

铺垫. y切线设计意图

Ox如图，设曲线c是函数yf(x)的图象，点P(x0,y0)是曲线

c 上一点

作割线PQ当点Q 沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处的切线

yy=f(x)QyPOxMx

2.确定曲线c在点P(x0,y0)处的切线斜率的方法：

因为曲线c是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了设割线PQ的倾斜角为，切线PT的倾斜角为，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ的斜率tan,即

tan=limx0f(x0x)f(x)ylim

xx0x我们可以从运动的角度来得到切线，所以可以用极限来定义切线，以及切线的斜率.那么以后如果我们碰到一些复杂的曲线，也可以求出它在某一点处的切线了. （2）讲解导数的几何意义

y3．说明：(1)是函数yf(x)对自变量x在x范围内的平均变生理解x化率，它的几何意义是过曲线yf(x)上点（x0,f(x0)）及点指导学导数的几何意义，可以讨论

(x0x,f(x0x)）的割线斜率. (2)导数f(x0)lim/x0f(x0x)f(x0)是函数yf(x)在点x0的x处瞬时变化率，它反映的函数yf(x)在点x0处变化的快慢程度.它的几何意义是曲线yf(x)上点（x0,f(x0)）处的切线的斜率因此，如果yf(x)在点x0可导，则曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）处的切线方程为

yf(x0)f/(x0)(xx0)

例1、曲线的方程为y=x2+1，那么求此曲线在点P(1，2)处的切线的斜率，以及切线的方程. 解：k=limx0f(x0x)f(x0)

xy=x2+12yy=2x2lim

x0f(1x)f(1)(1x)1(11)limx0xxP(1,2)(x)22xlimlim(x2)2x0x0x

Ox∴切线的斜率为2. 切线的方程为y－2=2(x－1)，即y=2x.

例2、求曲线f(x)=x3+2x+1在点(1，4)处的切线方程. 解:k=y(3)

讲解范例

f(x0x)f(x0)f(1x)f(1)limlimy=x3+2x+1x0x0xx

y=5x-1P(1,4)(1x)32(1x)1(13211)limx0x

通过例子，更深入理解导数的概念

xO5x3(x)2(x)3limx0xlim[53x(x)2]5

x0

∴切线的方程为y－4=5(x－1)，

即y=5x－1 例3、求曲线f(x)=132x－x+5在x=1处的切线的倾斜角. 3分析：要求切线的倾斜角，也要先求切线的斜率，再根据斜率k=tana，求出倾斜角a. 解：∵tana=limx0f(x0x)f(x0)f(1x)f(1)lim

x0xx

11(1x)3(1x)25(15)3

lim3x0x

1(x)3x1lim[(x)21]1

lim3x03x0x∵a∈［0，π)，∴a=3π. 4∴切线的倾斜角为

3π. 4(4)课

导数的几何意义，怎么求曲线的切线。

堂小结

六、板书：

七、作业：