1.2.1 充要条件教学内容概述

※ 1.2充分条件与必要条件 ※

【学习目标】

1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义. 2.会判断某些条件之间的关系. ※自主研读学习单※

充分条件与必要条件

命题真假

推出关系

“若p，则q”是真命题

p q p是q的

条件

条件关系

q是p的

条件

探究点一 充分条件、必要条件

问题1 判断下列两个命题的真假，并思考命题(1)中条件和结论之间的关系：

(1)若x>a2＋b2，则x>2ab；

(2)若ab＝0，则a＝0. 答案

(1)为真命题，(2)为假命题. 命题(1)中，有x>a2＋b2，必有x>2ab即x>a2＋b2⇒x>2ab，所以“x>a2＋b2”

1 “若p，则q”是假命题

p q p不是q的

条件

q不是p的 条件

是“x>2ab”的充分条件，“x>2ab”是“x>a2＋b2”的必要条件. 结论

一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件. 问题2 结合充分条件、必要条件的定义，说说你对充分条件与必要条件的理解. 答案

充分条件是使某一结论成立应该具备的条件，当具备此条件就可得此结论.或要使此结论成立，只要具备此条件就足够了. 必要条件可从命题等价性理解：p⇒q等价于非q⇒非p，q是p的必要条件意味着若q不成立，则p不成立，即q是p成立的必不可少的条件. 问题3 判断命题“若x＝1，则 x2－4x＋3＝0”中条件和结论的关系，并请你从集合的角度来解释. 答案

“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的充分条件，“x2－4x＋3＝0”是“x＝1”的必要条件. 两个条件“x＝1”和“x2－4x＋3＝0”都是变量的取值，和集合有关.将“x＝1”对应集合记作A，“x2－4x＋3＝0”对应集合记作B.显然AB. 问题4 结合以上分析，请你归纳判断充分条件，必要条件有哪些方法？

答案

一般地，关于充分、必要条件的判断主要有以下几种方法：

(1)定义法：直接利用定义进行判断.

2

(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立.这里要注意“原命题⇔逆否命题”、“否命题⇔逆命题”只是等价形式之一，对于条件或结论是不等式关系(否定式)的命题一般应用等价法. (3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合，那么若p⊆q，则p是q的充分条件；若p⊇q，则p是q的必要条件；若p＝q，则p既是q的充分条件，又是q的必要条件.

例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件) (1)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x＝2；

(2)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；

(3)p：x>1，q：x2>1；

(4)p：x，y不全为0，q：x＋y≠0.

解

(1)因为命题“若(x－2)(x－3)＝0，则x＝2”是假命题，而命题“若x＝2，则(x－2)(x－3)＝0”是真命题，所以p是q的必要条件，但不是充分条件，即p是q的必要不充分条件；

(2)∵p⇒q，而qp，∴p是q的充分不必要条件.

3

(3)p对应的集合为P＝{x|x>1}，q对应的集合为Q＝{x|x<－1或x>1}，∵P⊆Q，∴p是q的充分不必要条件. 4)∵而p：x＝0且y＝0，q：x＋y＝0，

p⇒q，

qp，∴p⇐q且pq，∴p是q的必要不充分条件. 小结

本例四个小题分别体现了定义法、集合法、等价法.一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题. 跟踪训练1 指出下列命题中，p是q的什么条件？

(1)p：x2＝2x＋1，q：x＝2x＋1；

(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；

(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；

(4)p：sin α>sin β，q：α>β. 解

(1)∵x2＝2x＋1⇒x＝2x＋1， x＝2x＋1⇒x2＝2x＋1，

∴p是q的必要不充分条件. (2)∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0， a＋b＝0a2＋b2＝0，

∴p是q的充分不必要条件.

4

(3)∵当x＝1或x＝2成立时，可得x－1＝x－1成立，

反过来，当x－1＝x－1成立时，可以推出x＝1或x＝2，

∴p既是q的充分条件也是q的必要条件. 4)由sin α>sin β不能推出α>β，反过来由α>β也不能推出

sin α>sin β，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件. 探究点二

充分条件、必要条件与集合的关系

问题

设集合A＝{x|x满足条件p}，集合B＝{x|x满足条件q}，若A⊆B，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？

答案

p是q的充分条件，q是p的必要条件. 例2 是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由. 解

由x2－x－2>0，解得x>2或x<－1. p令A＝{x|x>2或x<－1}，由4x＋p<0，得B＝{x|x<－}. 4p由题意得B⊆A，即－≤－1，即p≥4，

4p此时x<－≤－1⇒x2－x－2>0，

4∴当p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件. 小结

(1)设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p⇒q可得A⊆B；

5

q⇒p可得B⊆A；p⇔q可得A＝B，若p是q的充分不必要条件，则A⊆B. (2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值. 跟踪训练2 已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q 的一个充分不必要条件，求m的取值范围. mm解

由3x＋m<0得，x<－. ∴p：A＝{x|x<－}. 33由x2－2x－3>0得，x<－1或x>3. ∴q：B＝{x|x<－1或x>3}. m∵p⇒q而qp，∴AB，∴－≤－1，

3∴m≥3，即m的取值范围是[3，＋∞).

练一练

1.a<0，b<0的一个必要条件为

(

) aaA.a＋b<0

B.a－b>0 C.>1

D.<－1 bb解析

a＋b<0a<0，b<0，而a<0，b<0⇒a＋b<0. A 2.如果命题“若A则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的______________条件. 必要不充分 解析

因为逆否命题为假，那么原命题为假，即AB，又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A，

所以A是B的必要不充分条件.

6

3.若“x0”的充分不必要条件，求m的取值范围. 解

由(x－1)(x－2)>0可得x>2或x<1，

由已知条件，知{x|x2或x<1} ∴m≤1.

4.指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分也不必要条件) (1)p：△ABC中，b2>a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形；

(2)p：△ABC中有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0. 222a＋c－b解

(1)△ABC中，∵b2>a2＋c2，∴cos B＝<0，∴B为钝角，即△ABC2ac为钝角三角形，反之若△ABC为钝角三角形，B可能为锐角，这时b2

∴pq，q⇒p，故p是q的必要不充分条件. (3)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q，若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，所以p是q的充分且必要条件.

课堂小结：

1.充分条件、必要条件的判断方法：

7

(1)定义法：直接利用定义进行判断. (2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，要证p⇒q，只需证它的逆否命q⇒p即可；

同理要证p⇐q，只需证q⇐p即可. 所以p⇔q，只需q⇔p. 题(3)利用集合间的包含关系进行判断. 2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.

1.2.1充分条件与必要条件

一、选择题

π11．(2009·北京)“α＝6＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝2”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

8

[答案]

A [解析]

考查任意角的三角函数值．

π1“α＝6＋2kπ(k∈Z)”⇒“cos2α＝2”，

1“cos2α＝2”π“α＝6＋2kπ”(k∈Z) π因为α还可以等于2kπ－6(k∈Z)，∴选A. 2．(2009·湖南)对于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]

A [解析]

考查平面向量平行的条件．∵a＋b＝0，∴a＝－b.∴a∥b. 反之，a＝3b时也有a∥b，但a＋b≠0.故选A. 3．(2009·福建，7)设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是(

) A．m∥β且l1∥α

B．m∥l1且n∥l2

C．m∥β且n∥β

[答案]

B [解析]

本小题主要考查线面平行、面面平行、充要条件等基础知识．

易知选项A、C、D推不出α∥β，只有B可推出α∥β，且α∥β不一定推出B，B项为α∥β的一个充分而不必要条件，选B. 4．(2009·浙江，2)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]

C

9

D．m∥β且n∥l2

[解析]

本小题主要考查不等式的性质及充要条件．

当a>0且b>0时，

a＋b>0且ab>0；

当ab>0时，a，b同号，又a＋b>0，

∴a>0，且b>0.故选C. 5．若集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|0

) A．“x∈P”是“x∈Q”的充分条件但不是必要条件

B．“x∈P”是“x∈Q”的必要条件但不是充分条件

C．“x∈P”是“x∈Q”的充要条件

D．“x∈P”既不是“x∈Q”的充分条件也不是“x∈Q”的必要条件

[答案]

A [解析]

P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|0

x∈P⇒x∈Q.但x∈Q

x∈p，

∴x∈P是x∈Q的充分不必要条件．故选A. 6．.(2010·福建文，8)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的(

) A．充分而不必要条件

C．充要条件

[答案]

A [解析]

本题主要考查充分必要条件问题．

当x＝4时，|a|＝42＋32＝5 当|a|＝x2＋9＝5时，解得x＝±4. 所以“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．

17．(2010·广东理，5)“m<4”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的(

) A．充分非必要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分又不必要条件

B．充分必要条件

10

C．必要非充分条件

[答案]

A D．非充分非必要条件

[解析]

一元二次方程式x2＋x＋m＝0有实数解，则Δ＝1－4m≥0，11∴m≤4，故“m<4”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0”有实数解的充分不必要条件．

8．a<0是方程ax2＋1＝0有一个负数根的(

) A．必要不充分条件

B．充分必要条件

C．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]

B 1[解析]

①∵a<0，ax2＋1＝0⇒x2＝－a>0. ∴ax2＋1＝0有一个负根．∴充分性成立．

1②若ax2＋1＝0有一个负根，那么x2＝－a>0，可是a<0. ∴必要性成立．故选B. 9．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]

C [解析]

充分性：当a＝1时，直线x＋y＝0和直线x－y＝0垂直；

1必要性：若直线x＋y＝0和x－ay＝0垂直，由－1·a＝－1，∴a＝1，故选C. 10．(2009·山东)已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

11

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]

B [解析]

本小题主要考查空间线面的垂直关系和应用充要条件解题的能力．

由已知m⊂α，若α⊥β则有m⊥β，或m∥β或m与β相交；反之，若m⊥β，

∵m⊂α，∴由面面垂直的判定定理知α⊥β. ∴α⊥β是l⊥β的必要不充分条件．故选B. 二、填空题

11．条件甲：“a>1”是条件乙：“a>a”的__________条件．

[答案]

充要

[解析]

a>1⇒a>a成立

反之：a>a时即a2－a>0解得a>1. 12．“lgx>lgy”是“x>y”的______________条件．

[答案]

充分不必要

[解析]

由lgx>lgy⇒x>y>0⇒x>y充分条件成立．

又由x>y成立，当y＝0时，lgx>lgy不成立，必要条件不成立．

13．不等式ax2＋ax＋a＋3>0对一切实数x恒成立的充要条件是________．

[答案]

a≥0 [解析]

①当a＝0时，原不等式为3>0，恒成立；

②当a≠0时，用数形结合的方法则有

a>0⇒a>0.

∴由①②得a≥0. 2Δ＝a－4a(a＋3)<0

14．函数y＝x2＋bx＋c，x∈[0，＋∞)是单调函数的充要条件为________．

[答案]

b≥0

12

b[解析]

对称轴为x＝－2，要使y＝x2＋bx＋c在x∈[0，＋∞)上单调，

b只需满足－2≤0，即b≥0. 三、解答题

15．是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围．

p[解析]

x－x－2>0的解是x>2或x<－1，由4x＋p<0得x<－4. 2pp要想使x<－4时x>2或x<－1成立，必须有－4≤－1，即p≥4，所以p当p≥4时，－4≤－1⇒x<－1⇒x2－x－2>0. 所以p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件．

16．已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．

[解析]

解不等式x2－8x－20>0，得p：A＝{x|x>10或x<－2}．

解不等式x2－2x＋1－a2>0得

q：B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0} 依题意：p⇒q，但是q不能推出p，说明AB. a>0于是有1＋a≤101－a≥－2同时取到) 解得0

13

(说明“1＋a≤10”与“1－a≥－2”中等号不能

[解析]

充分性：

∵∠A＝90°，∴a2＝b2＋c2，

于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，

即x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0，

∴[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0，

∴该方程有两个根x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)，

同样，另一方程x2＋2cx－b2＝0也可化为

x2＋2cx－(a2－c2)＝0，

即x2＋2cx－(a－c)(a＋c)＝0，

∴[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0，

∴该方程有两个根x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a)，

可以发现x1＝x3，

∴这两个方程有公共根．

必要性：设β是两方程的公共根，

22β＋2aβ＋b＝0

①则2，

2β＋2cβ－b＝0

②

由①＋②得：β＝－(a＋c)或β＝0(舍去)，

将β＝－(a＋c)代入①并整理可得：a2＝b2＋c2，

∴∠A＝90°. 18．求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．

[解析]

由于二次项系数是字母，因此，首先要对方程ax2＋2x＋1＝0判定是一元一次方程还是一元二次方程．

1(1)当a＝0时，为一元一次方程，其根为x＝－2，符合要求；

(2)当a≠0时，为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式Δ≥0即4－4a≥0从而a≤1；

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21又设方程ax＋2x＋1＝0的根为x1·x2，则x1＋x2＝－a，x1·x2＝a. 2①因而方程ax2＋2x＋1＝0有一个正根、一个负根的充要条件是a≤11a<0

⇒a<0；

－2<0②方程ax＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件是a1a>02a≤1

⇒0

综上所述，ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a≤1.

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