小结教学设计案例

《函数的单调性与导数》教学设计（第三稿）

番禺区石碁中学高二理科数学备课组

曹艳芳

一、教学内容分析：

《函数的单调性与导数》是在学生学习了函数的单调性，导数的概念、计算、几何意义的基础上进行的。一方面，函数单调性是高中阶段刻划函数变化的一个最基本的性质。对于函数单调性的研究在高中可分为两个阶段：第一个阶段是在数学《必修1》中，用定义研究函数单调性；第二阶段在《选修2-2》中，用导数研究函数单调性。虽然学生已经能够使用定义判定在所给区间上函数的单调性,但在判断较为复杂的函数单调性时,使用定义法局限性较大。而通过本课例的学习，能很好的解决这一难题，能够使学生充分体验到导数作为研究函数单调性的工具的有效性和优越性。另一方面，导数是研究函数的单调性、极值、最值以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何问题、不等式也起着重要作用。所以，学习本案例既加深了学生对单调性与前面必修一所学知识之间的联系，也为后继学习做好了铺垫，起到了承前启后的作用。

二、教学目标：

（1）了解函数的单调性和导数的关系，会利用导（原）函数的图像判断原（导）函数的图像；

（2）利用导数判断函数的单调性，并求出函数的单调区间；

（3）会利用导数解决与单调性有关的参数问题.

三、学生学情分析：

“函数单调性”，“导数”这两个概念学生并不陌生，因为学生已经系统的用定义法研究了一些基本初等函数的图象和性质。之前又学习了导函数在某个区间上的正负号与原函数的单调性之间的关系，所以，在知识储备方面，学生已经具备足够的认知基础。根据学生的认知和能力水平，带参数函数的单调性的讨论以及已知单调性反求参数的取值范围对学生来说还是存在很大的难度。基于本节课内容的特点和学生的心理及思维发展的特征，在教学中教学内容采用问题串的形

1

式呈现，采用启发式和合作探究式的教学方法。同时，对于有难度的教学内容，采取将问题分解成若干个任务，各个击破，最后再实行方法的归纳总结。通过一系列措施的使用，学生能够很好的掌握学习目标。

四、教学重点、难点分析：

重点：利用导数判断函数的单调性及求函数的单调区间

难点：利用导数解决与单调性有关的参数问题

五、教学方法分析：

（1）教学方法的选择：为还课堂于学生，突出学生的主体地位，本节课拟运用“问题--- 解决”课堂教学模式，采用发现式、启发式的教学方法。通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，重视数学思想方法的应用和培养良好的数学思维和素养。

（2）教学课堂结构：知识回顾—提出问题—分析问题—讨论问题—解决问题—归纳总结

六、教学过程：

教

学

过

程

教学环节

若f(x)0，则f(x)在该区间为

函数；

1．

函数的单调性与导数：

函数yf(x)在某个区间(a,b)内可导

若f(x)0，则f(x)在该区间为

函数；

生：课前自

主完成知识

梳理

学习内容

师生活动

设计意图

通过知识梳理，让学生加深对函数

梳若f(x)在该区间内为增函数，则 f(x)0；

2

理

若f(x)在该区间内为减函数，则 f(x)0．

③令f(x)0，得递增区间；令f(x)0，得递减区间．

3．由函数的单调性求参数范围

为增函数的

条件.

2．求可导函数单调区间的步骤

①求f(x)的定义域；②求f(x)；

函数f(x)在(a,b)内可导，则f(x)0是f(x)在该区间内师：课堂同单调性与导学生再一起数之间关系重述重要知的认识，为识点

本节课的应用打下基础。

案

①求f(x)；

②当f(x)在区间(a,b)为增函数时，则f(x)0在区间(a,b)上恒成立；

当f(x)在区间(a,b)为减函数时，则f(x)0在区间(a,b)上恒成立．

1.函数f(x)3xx3的单调递减区间为

，

单调递增区间为

. 2.函数f(x)xlnx的单调递减区间为

.

生：课前自以4个客观主完成

题的形式检3.在(a,b)内有f(x)0且f(a)0，在(a,b)内有（ ）

师：课前批查学生对基基A.f(x)0

B.f(x)0

C.f(x)0

D.不能确定

础自测

所示，函数yf(x)的单调单调增

区间为 ；单调递减区

间为

.

4.已知函数yf(x)的图像如右图改，收集主础知识的掌

3 握程度，及要错误，课时消除学生堂上板书主在知识上的困惑，加深要典型错误

对函数单调生：个别同性与导数之间关系的理学分析错误解。

原因

探究一：利用导（原）函数的图像判断原（导）函数的图像

例1：（1）已知函数yf(x)的图象如图1所示，那么导函数yf(x)的图象可能是 ( )

（2）已知函数yf(x)的导函数的图象如图2所示，

则yf(x)的图象可能是 (

)．

探

此例题设置了两个小问，第一小生：课前完问已知原函数的的图像成，课堂上判断导函数小组讨论出的图像，第二小问已知正确答案，导函数的的小组展示

图像判断原函数的图师：倾听学像，让学生生解释过理解导函数和原函数图程，针对学像之间的联生表达含糊系是通过导数与单调性处稍加补充

之间的联系

确立起来的。

方法小结：原函数图像看 ，导函数图像看 探究二：讨论函数的单调性

生：小组分通过教师问析讨论解题题串的提2例2：已知函数，讨论函数的f(x)f(x)ax4lnx(aR)

方法

出，学生小师：以问题组探究发现

单调性.

串的形式提学习，将判

出质疑，引断带参数函

导学生思考数单调性的究

得出如何将讨论问题分

4

方法小结：

问题分解逐解成五个小步去突破

问题，归纳生：在老师总结形成解的引导下，题方法，将找到分析和解题思路程解决问题的序化，有利办法

于学生掌握师：通过方这一类问题法总结介绍的解决办讨论这类问法。 题的程序化

思想

此例题是已知带参数函

数在某个区间上的单调

性，求参数生：独立完

的取值范成

围，目的是

让学生掌握探究三：利用导数解决与单调性有关的参数问题

师：巡视个

分离变量，例3：函数f(x)x2axlnx(aR)，若f(x)在(0,1]是别指导，总从而将问题

减函数，求实数a的取值范围. 转化为恒成方法小结：

结分离变量

立问题这转化等数学一。例题的

设置重视数方法

案

学思想方法的应用，培养学生良好的数学素养。

通过总结梳

课

小结：

理本节课，堂

小组之间让学生养成1、讨论带参数函数单调性的五个步骤是什么？

总

的同学2查漏补缺的2、带参数函数单调性在已知区间的单调性已知，如何学习习惯，结

个组成一知道课后努解决参数的取值范围？

反

对，一问力的方向，3、对于这两类问题的解决方法你还存在什么困惑？

同时培养程思

一答

式化的解题

5

习惯，形成科学严谨地思考方式。

1.已知函数y＝xf′(x)的图象如图3所示(其中f′(x)是函数f(x)

的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(

)

课

生：课后独

通过布置作立完成

业既巩固本

节课的学习后

内容，又让

学生有思考

和提升的空

间。

2.f(x)(x3)ex的单调递增区间是

；

练

习

f(x)xlnx的单调递减区间是 . 3. 对于R上可导的函数

yf(x)，若满足(xa)f(x)0，则必有（

）

A.f(x)f(a)

B. f(x)f(a)

C. f(x)f(a)

D. f(x)f(a)

4.（2014新课标全国高考）若函数f(x)kxlnx在区间

1,上单调递增，则k的取值范围是(

）

A.,2

B. ,1

C.2,

D.

1,

325.已知f(x)xax2在1,上是单调增函数，则实数a的最大值是 。

6.已知函数f(x)ax33x213，讨论f(x)的单调性

a

6

证明：

（1）已知x1，证明不等式：xln(x1)；

x拓

（2）已知xR，证明不等式：ex1. 拓展题的设置，循序渐展

方法提升：要证明f(x)g(x)（f(x)g(x)）成立，可以生：学生根进，引领学生突破难

构造函数F(x)f(x)g(x)，然后再利用导数研究函数据自身情况点，有利于选择性完成

激发学生的提

F(x)f(x)g(x)的单调性，根据单调性得到F(x)0学习兴趣和

潜能。

升

（F(x)0），从而证明了不等式f(x)g(x)

（f(x)g(x)）成立.

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