小结教案和学案内容

空间几何体的三视图、直观图、表面积和体积小结

考纲要求

1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．

2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简单组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．

3．会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．

4．了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.

1．空间几何体的结构特征

(1)多面体的结构特征

多面体

棱柱

棱锥

棱台

结构特征

有两个面！！！！__平行__####，其余各面都是四边形且每相邻两个面的交线都平行且相等

有一个面是多边形，而其余各面都是有一个！！！！__公共顶点__####的三角形

棱锥被平行于！！！！__底面__####的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台

分值：5分

2017·全国卷Ⅰ，16 2017·全国卷Ⅱ，15 2017·全国卷Ⅲ，9 2017·江苏卷，6 2017·北京卷，6 2017·天津卷，11 空间几何体的结构特征、三视图、直观图、表面积和体积在高考中每年都会考查，主要考查几何体的三视图及已知几何体的三视图求几何体的表面积和体积. 考情分析

命题趋势

(2)旋转体的形成

几何体

圆柱

圆锥

圆台

球

旋转图形

矩形

直角三角形

直角梯形或等腰梯形

半圆或圆

旋转轴

矩形一边所在的直线

一直角边所在的直线

直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中点连线

直径所在的直线

2．空间几何体的三视图

(1)三视图的名称

几何体的三视图包括：！！！！__正视图__####、！！！！__侧视图__####、！！！！__俯视图__####. (2)三视图的画法

①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成！！！！__虚线__####. ②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的！！！！__正前__####方、！！！！__正左__####方、！！！！__正上__####方观察几何体的正投影图．

3．空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用！！！！__斜二测__####画法来画，其规则是：

(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为！！！！__45°或135°__####，z′轴与x′轴和y′轴所在平面！！！！__垂直__####. (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别！！！！__平行于坐标轴__####；

平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度！！！！__不变__####；

平行于y轴的线段在直观图中长度为！！！！__原来的一半__####. 4．空间几何体的表面积与体积

名称

几何体

柱体(棱柱和圆柱)

锥体(棱锥和圆锥)

台体(棱台和圆台)

球

表面积

S表面积＝S侧＋2S底

S表面积＝S侧＋S底

S表面积＝S侧＋S上＋S下

S＝！！！！__4πR2__####

1．思维辨析(在括号内打“√”或“”)．

(1)底面是正方形的四棱柱为正四棱柱．(

×

) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(

×

) (3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱．(

×

) (4)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(

×

) (5)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．(

×

) 解析

(1)错误．因为侧棱不一定与底面垂直．

(2)错误．尽管几何体满足了一个面是多边形，其余各面都是三角形，但不能保证各三角形具有公共顶点．

(3)错误．因为两个平行截面不能保证与底面平行．

体积

V＝！！！！__Sh__#### 1V＝！！！！__Sh__#### 31V＝(S上＋S下＋S上S下)h

34V＝！！！！__πR3__#### 3

(4)错误．∠A应为45°或135°. (5)错误．正方体的三视图由于正视的方向不同，其三视图的形状可能不同，圆锥的侧视图与俯视图显然不相同．

2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(

C

) A．圆柱

C．球体

B．圆锥

D．圆柱、圆锥、球体的组合体

解析

当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．

3．某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为5的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6，高为5的等腰三角形，则该几何体的体积为(

B

)

A．24

B．80

C．64

D．240 解析

结合题意知该几何体是四棱锥，棱锥底面是长和宽分别为8和6的矩形，棱锥的1高是5，可由锥体的体积公式得V＝×8×6×5＝80. 34．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为！！！！__2__####. 解析

设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，则πrl＋πr2＝3π，πl＝2πr，解得r＝1，即直径为2. 5．(2017·全国卷Ⅱ)长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为！！！！__14π__####. 解析

依题意得，长方体的体对角线长为32＋22＋12＝14，记长方体的外接球的半径为R，则有2R＝14，R＝14，因此球O的表面积等于4πR2＝14π.

2

一

空间几何体的结构特征

解决与空间几何体结构特征有关问题的三个技巧

(1)把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力．

(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型．

(3)通过反例对结构特征进行辨析．

【例1】

(1)给出下列命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．

其中正确命题的个数是(

A

) A．0

(2)以下命题：

①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；

③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．

其中正确命题的个数为(

B

) A．0

B．1

C．2

D．3 B．1

C．2

D．3 解析

(1)①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为轴旋转时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台上的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．

(2)由圆台的定义可知①错误，②正确．对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不正确．

二

空间几何体的三视图和直观图

(1)三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”．

(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．

【例2】

(1)(2016·天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为(

B

)

(2)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是(

A

)

解析

(1)由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图，如图所示，

该几何体的侧视图为B项．故选B．

(2)由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为22. 三

空间几何体的表面积和体积

(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图，确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；求组合体的表面积时要注意衔接部分的处理；求旋转体的表面积时要注意其侧面展开图的应用．

(3)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求

解．其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积．

(4)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．

(5)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．

【例3】

(1)(2016·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为

(

C

)

12A．＋π

33

12B．＋π

33D．1＋2π

612C．＋π

36(2)(2016·全国卷Ⅲ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(

B

)

A．18＋365 B．54＋185 C．90 D．81 解析

(1)由三视图可知四棱锥为正四棱锥，底面正方形的边长为1，四棱锥的高为1，球的直径为正四棱锥底面正方形的对角线，所以球的直径2R＝2，即R＝2，所以半球的2221112体积为πR3＝π.又正四棱锥的体积为×12×1＝，所以该几何体的体积为＋π.故选C．

363336(2)由三视图可知，该几何体是底面为正方形(边长为3)，高为6，侧棱长为35 的斜四

棱柱，其表面积S＝2×32＋2×3×35＋2×3×6＝54＋185.故选B．

四

与球有关的切、接问题

(1)正方体的内切球的直径为棱长，外接球的直径为正方体的体对角线长，此问题也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥．

1(2)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的.求球的半径关键是找到由2球的半径构成的三角形，解三角形即可求球的半径．

(3)球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题．

(4)球与多面体的组合，通常过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．

【例4】

(1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(

A

) 81πA．

4B．16π

C．9π

27πD．

4(2)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(

C

) 317A．

2B．210 13C．

2D．310 S163(3)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则＝！！！！____####. S2π(4)(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为！！！！__36π__####. 解析

(1)如图所示，设球的半径为R，底面中心为O′且球心为O.

∵正四棱锥P－ABCD中AB＝2，

∴AO′＝2. ∵PO′＝4，∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，

9∴R2＝(2)2＋(4－R)2，解得R＝. 49281π∴该球的表面积为4πR2＝4π×4＝4. (2)如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.

151又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，

222所以球O的半径

R＝OA＝52＋62＝13. 2232(3)设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4··a＝3a2，其内切球半径为正421166S13a2632πa四面体高的，即r＝·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr＝，则＝＝. 443126S2π2πa6(4)设球O的半径为R，∵SC为球O的直径，∴点O为SC的中点，连接AO，OB，∵SA＝AC，SB＝BC，∴AO⊥SC，BO⊥SC，∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB111×SC×OB×AO，即＝SC，∴AO⊥平面SCB，所以VS－ABC＝VA－SBC＝×S△SBC×AO＝×23311×2R×R×R，解得R＝3，∴球O的表面积S＝4πR2＝4π×32＝36π.

9＝×32

1．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(

A

)

πA．＋1

2πB．＋3

23πC．＋1

23πD．＋3 2解析

由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的，故该几何1111π体的体积V＝×π×3＋××2×1×3＝＋1.故选A．

323222．若几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为(

A

)

A．34π

B．35π

C．36π

D．17π

解析

由几何体的三视图知它的底面是正方形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，可把它补成一个长、宽、高分别为3,3,4的长方体，该长方体的外接球即为原四棱锥的外接球，所以4R2＝32＋32＋42＝18＋16＝34(其中R为外接球的半径)，外接球表面积为S＝4πR2＝34π.故选A．

3．某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为(

D

)

A．4π＋16＋43

C．4π＋16＋23

B．5π＋16＋43 D．5π＋16＋23 解析

由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧1面面积之和为2×4×2＝16，两个底面面积之和为2××2×3＝23；半圆柱的侧面积为21π×4＝4π，两个底面面积之和为2××π×12＝π，所以几何体的表面积为5π＋16＋23.故2选D．

4．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等V13S19且＝，则的值是！！！！____####. V22S24解析

设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则有2πr1h1＝2πr2h2，V1πr21h1即r1h1＝r2h2.又＝2，

V2πr2h2V1r1r13S1r129∴＝，∴＝，则＝＝. V2r2r22S2r24

易错点

不能巧妙运用长方体和正方体解题

错因分析：不能借助长方体和正方体协助解题，使解题受阻．

【例1】

某几何体的一条棱长为m，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为7的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为6和5的线段，则m的值为(

) A．3

B．23

C．4

D．25 解析

将这条棱放在长方体内，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，对角线A′C为该棱，则CD′为该棱的正视图，长为7，A′C′为俯视图，长为5，CB′为侧视图，a＋b＝5，22长为6，则a＋c＝7，b2＋c2＝6，22

则A′C2＝a2＋b2＋c2＝9，则A′C＝3. 答案

A 【跟踪训练1】

(2017·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(

D

)

A．60

B．30

C．20

D．10 解析

如图，把三棱锥A－BCD放到长方体中，长方体的长、宽、高分别为5,3,4，△BCD为直角三角形，直角边分别为5和3，三棱锥A－BCD的高为4，故该三棱锥的体积V11＝××5×3×4＝10. 32