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构造法巧解立体几何问题

一、概念问题

例1

判断命题：“若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小相等或互补”的真假。

D1 C1 分析：构造如图所示的正方体，显然有

平面AA1D1D平面ABC1D1

A1 B1 平面CDD1C1平面ABCD 二面角A-DD1-C190

二面角D-AB-C145

A D B C 所以命题是假命题

C例2 若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则

Dl

1 A.过点P有且仅有一条直线与l，m都平行

1 A

PBB.过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直

1 1 C.过点P有且仅有一条直线与l，m都相交

D C D.过点P有且仅有一条直线与l，m都异面

m

A B

例3

(1)在三棱锥的三个侧面中，直角三角形最多有______个

DC(2)在三棱锥的四个面中，直角三角形最多有______个

A(3)在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多有______个

B分析：构造如图所示的长方体，则

D D1-ACD的三个侧面均为直角三角形

C D1-ABD的四个侧面均为直角三角形

A B D1-ABCD的四个侧面均为直角三角形

C

4

5 二、求距离问题

P 例4

已知平面OAB、OBC、OCA两两垂直，点P到上述三个

3 平面的距离分别为3、4、5。求PO。

O B 分析：构造如图所示的长方体，则

PO32425252

A C

6

例5

已知平面OAB、OBC、OCA两两垂直，点P到平面OAB、

OBC的距离分别为5、6，且PO=10，求P到平面OCA的距离d。

分析：构造如图所示的长方体，则

10 O

P 5 B 1056d

A 222d39

例6 已知平面||，直线l点Pl，平面,之间的距离为8，则在内到P点的距离为10且到直线l的距离为9的点的轨迹是

D1 C1 A．一个圆

lP

A1 B1 B．两条直线 C．四个点

8 D D．两个点

C

6 A B 三、求异面直线所成的角

6 例7

正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于

分析：构造如图所示的正方体，

E 使正三棱锥的各条棱均为正方体

C 各个面上的对角线

由此易得EF与SA所成的角为45

A 四、求二面角的大小

例8

设E、F、G分别为正四面体A—BCD的棱AB、BC、CD的F B 中点，则二面角C-FG-E的余弦值是__________ A 分析：如图，作正四面体A-BCD的外接正方体，则E、F、G分别C 为侧面正方形的中心，且EG//BP、FG//BD，故平面EFG//平面BPD。设平面CBD与平面PBD的夹角即为

E 二面角C-FG-E的平面角的补角

所以所求二面角的余弦值为

五、求面积或体积

S G 3

3B F D P 例9

一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积S

分析：如图，构造棱长为1的正方体，则SABC是棱长为2的正四面体，正方体的外接球也是32该四面体的外接球，易知此球的直径为S4?()3

2

C 2S A B

例10

在四面体A-BCD中ABCD5,ACBD25,ADBC13求该四面体的体积V。

分析：构造如图所示的长方体，使四面体A-BCD的对棱分别成为长方体相对面的对角线。

设长方体的三棱长分别为a，b，c，则

B a A c b a2b2(25)2a4222bc(13)解得b2

c3c2a252VABCDV长方体4VACED1142344328

32D C E 例11

设A、B、C、D是半径为2的球面上四点，且AB·AC0,

AC·AD0,

AB·AD0

则SABCSABDSACD的最大值为______ 分析：由题意ABAC、ACAD、ABAD作出如图所示的球内接长方体，

AB2AC2AD2(2r)216

SABCSABDSACD

1(AB?ACAB·ADAC·AD)21AB2AC2AB2AD2AC2AD2()

22221(AB2AC2AD2)82A C B D (08 宁夏

12)某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a + b的最大值为

A. 22

B. 23

C. 4

D. 25

a1AA2221D1

C1 76b212AB2AA12AB2(6)2A1 a D A B1 (ab)222ab8

2b B C