3.1.3 导数的几何意义教学设计一等奖

3.1.3

导数的几何意义

学习目标

1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．

知识点一

导数的几何意义

(1)切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．

(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝lim

→Δx0fx0＋Δx－fx0＝f′(x0)．

Δx(3)切线方程：

曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

特别提醒：曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可能有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．

知识点二

导函数的概念

(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．

(2)记法：f′(x)或y′，

即f′(x)＝y′＝lim

→Δx0fx＋Δx－fx. Δx

1．f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(

×

) 2．求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(

×

) 3．f′(x0)

×

)

4．曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(

√

)

类型一

求切线方程

14例1

已知曲线C：y＝x3＋，求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程．

33考点

切线方程的求解及应用

题点

求曲线的切线方程

解

将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，

∴切点P(2,4)．

y′|x＝2＝lim

→Δx0Δy

Δx14142＋Δx3＋－×23－3333＝lim

ΔxΔx→04＋2Δx＋1Δx2＝4，

＝lim

→3Δx0∴k＝y′|x＝2＝4. ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为

y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. 反思与感悟

求曲线在某点处的切线方程的步骤

跟踪训练1

曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．

考点

切线方程的求解及应用

题点

求曲线的的切线方程

答案

－3 解析

y′|x＝2＝lim

→Δx0Δy

Δx2＋Δx2＋1－22－1＝lim

ΔxΔx→0＝lim

(4＋Δx)＝4，

→Δx0∴k＝y′|x＝2＝4. 曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线方程为

y－5＝4(x－2)，

即y＝4x－3. ∴切线与y轴交点的纵坐标是－3. 类型二

求切点坐标

例2

已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标．

(1)切线的倾斜角为45°. (2)切线平行于直线4x－y－2＝0. (3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0. 考点

切线方程的求解及应用

题点

求切点坐标

Δy2解

设切点坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x0－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，∴＝4x0＋2Δx，

ΔxΔy当Δx→0时，→4x0，即f′(x0)＝4x0. Δx(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，

∴斜率为tan 45°＝1. 1即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，

419∴切点的坐标为4，8. (2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，

∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，

∴切点坐标为(1,3)．

(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，

－1＝－1，即k＝8，

则k·8故f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，

∴切点坐标为(2,9)．

反思与感悟

根据切线斜率求切点坐标的步骤

(1)设切点坐标(x0，y0)．

(2)求导函数f′(x)．

(3)求切线的斜率f′(x0)．

(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0. (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标．

跟踪训练2

已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．

考点

切线方程的求解及应用

题点

求切点坐标

解

设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)．

∵f′(x)＝lim

→Δx0fx＋Δx－fx

Δxx＋Δx3－2x＋Δx2＋3－x3－2x2＋3＝lim

ΔxΔx→0＝3x2－4x，

由题意可知k＝4，即3x20－4x0＝4，

2解得x0＝－或x0＝2，

3249－，或(2,3)．

∴切点的坐标为327249249121－，时，有＝4×－＋a，a＝. 当切点为32732727当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，a＝－5. 249121－，；

∴当a＝时，切点为32727当a＝－5时，切点为(2,3)．

类型三

导数几何意义的应用

例3

已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝kAB，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．(请用“>”连接) 考点

导数的几何意义

题点

导数几何意义的理解

答案

k1>k3>k2

解析

由导数的几何意义，可得k1>k2. f2－f1∵k3＝表示割线AB的斜率，

2－1∴k1>k3>k2. 反思与感悟

导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的如直线的位置关系、斜率取值范围等关系求解相关问题，此处常与函数、方程、不等式等知识相结合．

跟踪训练3

已知曲线f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为________．

考点

切线方程的求解及应用

题点

根据切点或切线斜率求值

答案

－7 2解析

设点P(x0,2x0＋a)．

由导数的几何意义可得

2x0＋Δx2＋a－2x2Δy0＋af′(x0)＝lim

＝lim

ΔxΔx→0ΔxΔx→0＝4x0＝8，

∴x0＝2，∴P(2,8＋a)．

将x＝2，y＝8＋a代入到8x－y－15＝0中，

得a＝－7.

1．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为(

) A．4

B．16

C．8

D．2 考点

切线方程的求解及应用

题点

求切线的倾斜角或斜率

答案

C 解析

f′(2)＝lim

→Δx0f2＋Δx－f2

Δx22＋Δx2－8＝lim＝lim

(8＋2Δx)＝8，即斜率k＝8. ΔxΔx→0Δx→012．已知曲线y＝x2＋2x的一条切线斜率是4，则切点的横坐标为(

) 2A．－2

B．－1

C．1

D．2 考点

切线方程的求解及应用

题点

求切点坐标

答案

D 111Δy1解析

Δy＝(x＋Δx)2＋2(x＋Δx)－x2－2x＝x·Δx＋(Δx)2＋2Δx，所以＝x＋Δx＋2，所以222Δx2y′＝lim

→Δx0Δy＝x＋2.设切点坐标为(x0，y0)，则y'|xx＝x0＋2.由题意，得x0＋2＝4，所以x0Δx0＝2，故选D. 3.已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(

) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)

考点

导数的几何意义

题点

导数几何意义的理解

答案

B 解析

由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是曲线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)

14．函数y＝＋1的图象在点(1,2)处的切线方程为________________．

x考点

切线方程的求解及应用

题点

求曲线的切线方程

答案

x＋y－3＝0 11＋1－－1xx＋Δx解析

∵y′＝lim

ΔxΔx→0＝lim

→Δx0－11＝－2，

xx＋Δxx11∴y′|x＝1＝－2＝－1，即y＝＋1的图象在点(1,2)处的切线的斜率为－1，则在点(1,2)处的切1x线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0. 5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a，b，c的值．

考点

切线方程的求解及应用

题点

根据切点或切线斜率求值

解

∵抛物线过点P，∴a＋b＋c＝1，①

又y′＝2ax＋b，∴y′|x＝2＝4a＋b，∴4a＋b＝1，②

又抛物线过点Q，∴4a＋2b＋c＝－1，③

由①②③得a＝3，b＝－11，c＝9.

1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即k＝lim

→Δx0fx0＋Δx－fx0＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．

Δx2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个常数，不是变量，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．

3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．

一、选择题

1．曲线y＝1x在点(1,1)处的切线的倾斜角为(

) A.π

B.π4

3

C.2π3

D.3π4

考点

切线方程的求解及应用

题点

求切线的倾斜角或斜率

答案

D 解析

y′|x＝1＝Δlimx→0

－11＋Δx＝－1，

由tan α＝－1及0≤α<π，得α＝3π4，故选D. 2．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则(

A．f′(x0)>0

B．f′(x0)＝0 C．f′(x0)<0

D．f′(x0)不存在

考点

导数的几何意义

题点

导数几何意义的理解

答案

C 解析

由导数的几何意义，可得f′(x0)＝－2<0. 3．曲线y＝x3的斜率为12的切线有(

) A．1条

B．2条

C．3条

D．不确定

考点

切线方程的求解及应用

题点

根据切点或切线斜率求值

答案

B ∵Δlimx→0

x＋Δx3－x3解析

Δx＝3x2＝12，

∴x＝±2，∴斜率为12的切线有2条．

4．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是(

A．(0,0)

B．(2,4)

C.14，116

D.12，14

考点

切线方程的求解及应用

) )

题点

求切点坐标

答案

D x＋Δx2－x2解析

∵lim

＝2x，

ΔxΔx→0π又切线的倾斜角为，

4π∴切线的斜率为tan ＝1，即2x＝1，

41111∴x＝，y＝，则切点为2，4. 245．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于(

) 11A．1

B.

C．－

D．－1 22考点

切线方程的求解及应用

题点

根据切点或切线斜率求值

答案

A a1＋Δx2－a×12解析

∵y′＝lim

ΔxΔx→0＝lim

(2a＋aΔx)＝2a，

→Δx0∴2a＝2，即a＝1. 6.如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于(

) A．－4

C．－2

考点

导数的几何意义

题点

导数几何意义的理解

答案

B 解析

由题干中的图象可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点(4,0)，与y轴交于点(0,4)，则可知l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，∴代入可得f(2)＋f′(2)＝1，故选B. 7．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为B．1 D．2 0，π，则点P横坐标的取值范围为(

) 41－1，－

A.2C.[0,1]

考点

切线方程的求解及应用

B.[－1,0] 1D.2，1

题点

根据切点或切线斜率求值

答案

A 解析

设P点的横坐标为m，先求出函数y＝x2＋2x＋3上此处的导数

22Δym＋Δx＋2m＋Δx＋3－m－2m－3＝

ΔxΔx2mΔx＋2Δx＋Δx2＝＝2m＋2＋Δx，

ΔxΔy当Δx→0时，→2m＋2，∴f′(m)＝2m＋2. Δxπ0，，

由于倾斜角的取值范围为41∴0≤2m＋2≤1⇒－1≤m≤－. 2二、填空题

b8．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________. a考点

切线方程的求解及应用

题点

根据切点或切线斜率求值

答案

2 解析

∵函数过点(1,3)，∴a＋b＝3，

a1＋Δx2＋b－a＋b又y′|x＝1＝lim

＝2a＝2，

ΔxΔx→0b∴a＝1，b＝2，故＝2. a9.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝________；

Δx0lim

→f1＋Δx－f1＝________.(用数字作答) Δx考点

导数的几何意义

题点

导数几何意义的理解

答案

2

－2 解析

∵f(0)＝4，∴f(f(0))＝f(4)＝2，

f′(1)＝lim

→Δx0f1＋Δx－f1＝－2. Δx110．曲线f(x)＝x2的平行于直线x－y＋1＝0的切线方程为________________．

2考点

切线方程的求解及应用

题点

求曲线的切线方程

答案

2x－2y－1＝0 11x＋Δx2－x222解析

f′(x)＝lim

＝x. ΔxΔx→0因为直线x－y＋1＝0的斜率为1，所以x＝1，

1111，. 所以f(1)＝×12＝，切点为2221故切线方程为y－＝1·(x－1)，

2即2x－2y－1＝0. 11．已知f(x)＝x2＋ax，f′(1)＝4，曲线f(x)在x＝1处的切线在y轴上的截距为－1，则实数a的值为________．

考点

切线方程的求解及应用

题点

根据切点或切线斜率求值

答案

2 解析

由导数的几何意义，得切线的斜率为k＝f′(1)＝4，又切线在y轴上的截距为－1，所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝4x－1，从而切点坐标为(1,3)，所以f(1)＝1＋a＝3，即a＝2. 12．若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为________．

考点

切线方程的求解及应用

题点

根据切点或切线斜率求值

答案

4 解析

设抛物线在P点处切线的斜率为k，

k＝y′|x＝－2

－2＋Δx2－－2＋Δx＋c－6＋c＝lim

＝－5，

ΔxΔx→0∴切线方程为y＝－5x，

∴点P的纵坐标为y＝－5×(－2)＝10，

将点P(－2,10)代入y＝x2－x＋c，得c＝4. 三、解答题

113．若曲线y＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x＝a所围成的三角形的面积为，6求a的值．

考点

切线方程的求解及应用

题点

切线方程的应用

a＋Δx3－a32解

∵f′(a)＝lim

＝3a，

ΔxΔx→0∴曲线在(a，a3)处的切线方程为y－a3＝3a2(x－a)，

2a，0. 切线与x轴的交点为32113a－a·∴三角形的面积为|a|＝，得a＝±1. 236四、探究与拓展

14．过点M(1,1)且与曲线y＝x3＋1相切的直线方程为(

) A．27x－4y－23＝0 B．23x－3y－12＝0和y＝3 C．5x－17y＋9＝0 D．27x－4y－23＝0和y＝1 考点

切线方程的求解及应用

题点

求曲线的切线方程

答案

D 33Δyx＋Δx＋1－x－1解析

＝

ΔxΔx3xΔx2＋3x2·Δx＋Δx3＝

Δx＝3x·Δx＋3x2＋(Δx)2，

所以lim

→Δx0Δy＝3x2，

Δx即y′＝3x2. 设过(1,1)点的切线与y＝x3＋1相切于点P(x0，x30＋1)，

根据导数的几何意义，曲线在点P处的切线的斜率为k＝3x20，①

x30＋1－1过(1,1)点的切线的斜率k＝，②

x0－1由①②得23x0＝x30，

x0－13解得x0＝0或x0＝，

233527所以k＝0或k＝，切点坐标为(0,1)或2，8. 433527x－和y＝1，

因此曲线y＝x3＋1的过点M(1,1)的切线方程有两个，分别为y－＝842即27x－4y－23＝0和y＝1.

15．已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值．

考点

切线方程的求解及应用

题点

根据切点或切线斜率求值

解

∵f′(x)＝lim

→Δx0Δy

Δxax＋Δx2＋1－ax2＋1＝lim

＝2ax，

ΔxΔx→0∴f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a. ∵g′(x)＝lim

→Δx0Δy

Δxx＋Δx3＋bx＋Δx－x3＋bx＝lim

ΔxΔx→0＝3x2＋b，

∴g′(1)＝3＋b，即切线斜率k2＝3＋b. ∵在交点(1，c)处有公共切线，∴2a＝3＋b. a＝3，又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得

b＝3.