4.3.2 空间两点间的距离公式教案3

人教A版必修2 第四章

圆与方程

第4.3节

空间直角坐标系

高中数学必修2（人教A版）第四章4.3空间直角坐标系一节，

本节课是在学生学***面直角坐标系，利用平面直角坐标系解决平面几何图形问题，有了一定的数形结合思想的基础上的进一步推广，类比平面直角坐标系学习空间直角坐标系，学生又学习了空间几何知识，学习了空间直角坐标系后，学生经过知识迁移就能利用空间直角坐标系解决空间立体几何问题，把数形结合思想由平面推广到空间，为立体几何问题的解决提供了新的解题途径。本节是先学习空间直角坐标系和空间中点的坐标表示，再通过类比猜想并证明空间两点间的距离公式，空间中两点间的中点公式，这是空间直角坐标系的加深与拓宽，进一步让学生体会用坐标法来解决问题的思想。

教学目标

1.通过类比平面直角坐标系了解空间直角坐标系的建系方式。

2.掌握空间中任意一点的坐标表示方法。

3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标。

4.会应用空间两点的距离公式求空间中两点间的距离。

核心素养

1.直观想象

掌握空间中任意一点的表示方法. 2.逻辑推理

了解空间直角坐标系的建系方式. 3.数学运算

能在空间直角坐标系中求出点的坐标且会求空间中两点间的距离．

1. 空间直角坐标系的理解．

2. 建立恰当的空间直角坐标系，会求空间点的坐标和距离．

一、复习引入

1．情境：通过前面学习直线与圆的方程，了解了解析几何的基本思想是什么？——建立坐标系，用代数方法解决几何问题！

（1）数轴上的点与实数的一一对应关系；

（2）建立平面直角坐标系，确立了平面内的点与坐标之间的一一对应关系；

2．问题：空间位置如何确定？回顾斜二测画法画长方体直观图建立的坐标系。

学生活动：快速阅读、动手演示右手直角坐标系．

二、新课探究

新知探究1直角坐标系与空间中的点坐标表示

1．空间直角坐标系．

从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同的单位长度的数轴，这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz．点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面．

2．空间右手直角坐标系的画法．

通常，将空间直角坐标系画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴均成135，而z轴垂直于y轴．y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的单位长度的一半．

3．空间点的坐标表示．

知识运用

练习1：写出点P的坐标

（1）DP=2，CP=4 （2）DP1=2，CP1=4，P1P=5 （3）DP1=2，CP1=4，P1P=5 练习2：在空间直角坐标系中描出下列各点，并说明这些点的位置

A（0,1,1）,B（0,0,2）, C（0,2,0）,D（1,0,3）,E（2,2,0）,F（1,0,0）

例1、在长方体OABCDABC中，OA3，OC4，OD2，写出D，C，A，B四点的坐标。

规律总结：

一、坐标轴上的点

x轴上的点坐标： y轴上的点坐标： z轴上的点坐标: 二、坐标平面上的点

xoy平面上的点： xoz平面上的点： yoz平面上的点： 变式练习：空间中点的射影点与对称点坐标

空间对称的点的特征：点P(x，y，z)是空间内任意一点，则

（1）点P关于原点的对称点的坐标为(－x，－y，－z)；

（2）点P关于x轴的对称点的坐标为(x，－y，－z)；

（3）点P关于y轴的对称点的坐标为(－x，y，－z)；

（4）点P关于z轴的对称点的坐标为(－x，－y，z)；

（5）点P关于xOy平面的对称点的坐标为(x，y，－z)；

（6）点P关于yOz平面的对称点的坐标为(－x，y，z)；

（7）点P关于zOx平面的对称点的坐标为(x，－y，z)．

新知探究2 空间两点间的距离

1．问题情境：一间房子长5米，宽3米，高3米，一根长7米的木棒能放进去吗？

2．问题：你能根据平面直角坐标系中两点之间距离公式：

|AB|＝(x1x2)2(y1y2)2，猜想空间直角坐标系两点之间的距离公式吗？

3．学生活动

1）回顾长方体对角线公式的推导；

2）在教师的指导下动手推导得出|OP|＝x2y2z2；

空间中任间一点P(x，y，z)到原点之间的距离公式会是怎样呢？

z P(x,y,z) o B(x,y,0) x y

引导学生用勾股定理来完成．

学生：在教师的指导下作答得出|OP|＝x2y2z2．

3）动手推导空间直角坐标系两点之间的距离公式。

如果是空间中任间一点P1(x1，y1，z1)到点P2(x2，y2，z2)之间的距离公式是怎样呢？空间中任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)之间的距离的公式|P1P2|=(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2

z P2

P1

M2

N y M1

M x

例2

求证：以M1（4,3,1），M2（7,1,2），M3（5,2,3）为顶点的三角形是等腰三角形。

知识运用

1.

在Z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)与点B(1,-3,1)的距离相等. 2.

如图，正方体OABC－D′A′B′C′的棱长为a，|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC′|，求MN的长．

解

建立如图所示空间直角坐标系，

过点M作MF垂直BC于F，连接NF，

显然MF垂直平面ABCO，

所以MF垂直NF，

因为|BM|＝2|MC′|.

所以|BF|＝2|FC|. 又|AN|＝2|CN|，

所以NF∥AB，

1a所以|NF|＝|FC|＝|AB|＝. 3322a同理|MF|＝|CC′|＝，

33a2aa2a，，0，点M的坐标为，a，，

因此，得点N的坐标为3333于是|MN|＝

a－a2＋2a－a2＋0－2a2＝5a. 33333三、小结与作业

课后补充练习

1.确定空间中任意一点的坐标

1.

已知棱长为2的正方体ABCD－A′B′C′D′，建立如图所示不同的空间直角坐标系，试分别写出正方体各顶点的坐标．

解

对于图①，因为点D是坐标原点，A，C，D′分别在x轴，y轴，z轴的正半轴上．又正方体的棱长为2，所以D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，D′(0,0,2)．

因为点B在xDy平面上，它在x轴，y轴上的投影分别为A，C，所以B(2,2,0)．同理，A′(2,0,2)，C′(0,2,2)．

因为B′在xDy平面上的投影是B，在z轴上的投影是D′，所以B′(2,2,2)．

对于图②，A，B，C，D都在xD′y平面的下方，所以其z坐标都为负，A′，B′，C′，D′都在xD′y平面上，所以其z坐标都为零．因为D′是坐标原点，A′，C′分别在x轴，y轴的正半轴上，D在z轴的负半轴上，且正方体的棱长为2，所以D′(0,0,0)，A′(2,0,0)，C′(0,2,0)，D(0,0，－2)．

同①，得B′(2,2,0)，A(2,0，－2)，C(0,2，－2)，B(2,2，－2)．

总结

(1)建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．

(2)对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点坐标的关键．[来源学科网ZXXK]

2.

空间中点的位置的确定

2.

在空间直角坐标系Oxyz中，作出点P(5,4,6)．

解

方法一

第一步：从原点出发沿x轴正方向移动5个单位．第二步：沿与y轴平行的方向向右移动4个单位．第三步：沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P.

方法二

以O为顶点构造长方体，使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴，y轴，z轴的正半轴上，且棱长分别为5,4,6，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求点P. 总结

已知点P的坐标确定其位置的方法

(1)利用平移点的方法，将原点按坐标轴方向三次平移得点P. (2)构造适合条件的长方体，通过和原点相对的顶点确定点P的位置．

(3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点P. 3.

空间点的对称问题

3.

求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标．

解

过点A作AM⊥平面xOy于M，并延长到点C，使AM＝CM，则点A与点C关于坐标平面xOy对称，且C(1,2,1)．

过点A作AN⊥x轴交x轴于N，并延长到点B，使AN＝NB，则A与B关于x轴对称且B(1，－2,1)，

∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点为C(1,2,1)，关于x轴对称的点为B(1，－2,1)．

总结

以下几条对称规律要在理解的基础上熟记：

(1)点A(x，y，z)关于x轴的对称点为A1(x，－y，－z)，

关于y轴的对称点为A2(－x，y，－z)，

关于z轴的对称点为A3(－x，－y，z)．

(2)点A(x，y，z)关于原点的对称点为A4(－x，－y，－z)．

(3)点A(x，y，z)关于xOy平面的对称点为A5(x，y，－z)，

关于xOz平面的对称点为A6(x，－y，z)，

关于yOz平面的对称点为A7(－x，y，z)．

关于坐标轴和坐标平面对称的点的坐标的变化规律为“关于谁对称谁不变，其余的相反”．

4.

求空间两点间的距离[来源:Zxxk.Com]

4.

已知点A(4,5,6)，B(－5,0,10)，在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________．

答案

(0,0,6) 解析

设P(0,0，z)，由|PA|＝|PB|，得

4－02＋5－02＋6－z2

＝－5－02＋0－02＋10－z2，

解得z＝6. ∴点P的坐标为(0,0,6)．引申探究

1)

若本例中已知条件不变，问能否在x轴上找一点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？

2)

若本例中“在z轴上”改为“在y轴上”，其他条件不变，结论又如何？

解

设P(0，y,0)，由|PA|＝|PB|，得4－02＋5－y2＋6－02

＝－5－02＋0－y2＋10－02，

24解得y＝－. 524∴点P的坐标为(0，－，0)．

5总结

(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．

(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解．

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