复习参考题教学活动设计方案

“圆”来如此

---《圆的方程的综合应用习题课》教学设计

一、教学内容分析

本节内容《“圆”来如此---圆的方程的综合应用习题课》选自全日制普通高级中学教科书，人教A版2003新课标数学必修2-第四章圆与方程的第一节圆的方程；同时也引用人教A版2003新课标数学选修1-2-第三章数系的扩充与复数的引入的第一节第二课时复数的几何意义；以及人教A版2003新课标数学选修4-4-第一讲坐标系-问题三之简单曲线的极坐标方程中之1圆的极坐标方程. 本节内容在教材中的地位和作用：在初中阶段，圆作为学生学习的重要内容，意在培养学生直观的图形感觉，重点是研究圆的平面几何性质；在高中阶段，在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历以下过程：首先将平面几何问题代数化，用代数的语言描述圆的几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；反之，处理与圆相关的代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决与圆相关的几何问题.这种思想应贯穿圆的方程的整个教学，更应将这种思想贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断体会“数形结合”的思想方法.其次，在复数的几何意义和圆的极坐标方程的学习中，不断的深化学生对圆的方程的认识，继续深刻的体会“数形结合”这一数学思想.

二、学生学习情况分析

我校为省级示范性高中，学校有着优越的教学环境，多媒体设备配备完善，为多元的教学手段提供了良好的基础.所执教的班级学生为文科生，数学基础薄弱，但孩子们却有着强烈的求知欲，表现欲，具备基本的分析、观察、解决问题的能力.在此节授课之前，学生掌握了基本的关于“圆的方程”的知识，即掌握了圆的标准方程、圆的一般方程、复数的几何意义、圆的极坐标方程.但是学生在知识的综合应用，计算，动手操作与合作学习等方面，发展的还不够均衡，此些方面有待提高和加强.

三、设计思想

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为了提升学生的学科思维，培养学生的学科核心素养，使学生不仅能“学会”，而且还“会学”.在课堂的教学设计上，采用了“创设情境，激发兴趣，主动发现，合作探究”的教学模式.即首先由教师创设情境，通过情境去激发学生学习的兴趣；围绕教材的重点、难点去设置教学的情境，例如针对本节的主要教学内容为“圆的方程”和“圆的方程在复数和极坐标系中的应用”，教师要设置不同的活动环节，所设置的问题由浅入深，逐次深入，尽量做到环环相扣.由此通过教师适时适当的引导，通过师生互动、生生互动，让学生自己去发现、分析、探究、追思，这样才能使学生尽可能的发挥学习的主观能动性，不断的探索，逐步提升学习能力，完善自己的知识体系，同时也将小组合作学习的模式进行下去，从而体会到学习的乐趣. 更重要的是要借助多媒体等信息技术的辅助，如PowerPoint、小视频、微课，将抽象的数学问题实际化、形象化、动感化，以便学生更好的学习和理解本节课内容.同时也可使学生在轻松愉快的学习环境中获取新知，高效学习.

四、教学目标

1.知识与技能: （1）（必修2）复习圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程和一般方程；直线与圆的位置关系及应用；

（2）（选修1-2）圆的复数形式；复数的几何意义之复数的模长；

（3）（选修4-4）圆的极坐标方程，极坐标向直角坐标转化. 2.过程与方法：

（1）进一步培养学生用代数方法研究平面几何问题的能力；加深对数形结合思想的理解及运用；

（2）通过对圆的方程（圆的标准方程和圆的一般方程）、复数的几何意义之复数的模长、圆的复数形式、圆的极坐标方程的比较，细心体会圆的三种不同方程的内在的区别和联系. （3）利用圆的在不同坐标系下的方程解决简单的实际问题，加强学生理论联系实际的能力. 3.情感态度与价值观：

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（1）培养学生主动探究知识、合作交流的意识；

（2）在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣. （3）营造亲切、和谐的学习探究氛围，引导学生用运动变化的观点去发现问题、探索问题、解决问题，提升学生的学习能力，培养学生的创新意识，体会图形的简洁美、和谐美.培养合作学习的意识，体会成功带来的喜悦. （4）借助多媒体等信息技术手段辅助教学，激发学生学习主动性，使学生在开放、民主的氛围中，培养学生勇于探索、创新的精神.

五、教学重点和难点

教学重点: 掌握圆的标准方程和圆的一般方程、圆的复数形式、圆的极坐标方程及其应用；圆与直线的位置关系及其应用. 教学难点：与圆有关的最值或取值范围问题，圆的方程的应用，圆与直线的位置关系及应用.

六、教学过程设计

【设计思路】

本节课为综合习题课，所执教为文科班，学生基础差，计算能力弱，但是学习积极性较高，所以在教学中，采用师生共同参与，以合作学习小组为基本单位，由教师设置习题和问题，学生参与，积极思考，引导他们运用已有的知识经验，解答习题，同时教师给予指点、引导和点评.

（一）课前热身，轻松氛围

（借助多媒体播放小视频）

选自网络中的小品《钟点工》，截取其中的一个片段，主要是为孩子们营造一个轻松愉快的学习氛围，吸引孩子们的注意力，从小品中、生活中，去领悟可为我所用的道理.如这里的“马甲思想”，为本节课后面的学习奠定良好的基础，减轻学生的学习、理解的思想负担. （二）设置情景，导入新课

（借助多媒体展示PPT）

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先给出一张李白的古诗词的图片（激发学生的学习兴趣！更是紧扣新高考数学中所提出的“数学文化”，增加中国传统文化的学习，提升学生的核心素养.）

师：让我们先来读一读这几句节选自李白的古诗，这里有着《古朗月行》的“月下童年”，有着《静夜思》中的“床前明月光”，也有《月下独酌》的“对影成三人”，更有着《关上月》中辽阔与苍茫.这里都提到了一个共同的事物，是什么呢？

生：月光！

生：月亮！ 师：好！同学们都回答的非常好.在中国，古人对月亮有着特殊的情怀，一如对“圆”有着深刻的情怀，希望天人合一，追求人生的圆满.因而本节课我们就来共同学习研究“圆的方程的综合应用”. （板书本节研究的课题：“圆”来如此）

【设计意图】

一个与众不同的引课会在最短的时间内吸引学生，拉近教师与学生之间的距离，更能激发学生的学习热情，使学生的智能、认知得以生长，陶冶情操，大大提高教师教学效率. 【学情预设】

学生被教师所营造的古诗词文化的意境所吸引，引发学生学习探究的热情.

（三）合作探究，重获新知

（借助多媒体展示PPT）

直接给出授课内容的目录：1、圆的直角坐标方程，2、圆的复数表示，3、圆的极坐标方程. 即开门见山直接点出本节课的知识重点，学生结合课前预习内容，便于更好的学习探究.

师：在必修2中，我们学习了圆的标准方程和一般方程，它们之间有什么联系

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呢？

生：表示不一样！但是可以相互转化. 生：方程！圆的标准方程是xaybr2，一般方程是22x2y2DxEyF0.（D2E24F0）

师：圆的复数表示呢？

生：复数的几何表示中，利用复数的模长公式，计算化简后所得到的表达式符合圆的标准方程的形式.

（借助多媒体展示PPT）进入习题环节：

角度1：圆的直角坐标方程

例1.已知实数x，y满足方程x2y24x30y0： （1）y的最大值和最小值； x（2）yx的最小值； （3）x2y2的最大值和最小值. 师：请第一学习小组的同学到黑板前来展示合作学习的成果. 生：这道题目，我们小组的研究成果是……

（学生在黑板上板演，并讲解解题思路，教师给以适当的提示和点评.）

【设计意图】

在点评环节，设置了PPT动画，利用多媒体的这一功能，完美的展示此题的精髓，即在于对圆的方程的综合应用.在审题环节首先指明知识点，即圆的标准方程和圆的一般方程，二者之间可相互转化.所设置的三个问题为最值类问题，即可转化为“直线型”和“点点距离平方型”，其中“直线型”又为“斜率型”和“截距型”. 对三问中的每一问都设置相应的PPT动画与之对应.多媒体辅助教学的优点

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就在于它的形象性、准确性、直观性，让抽象的、复杂的数学问题，变的让学生容易理解和接受，同时更降低了学生对这类最值问题的困惑和恐惧.

（多媒体动画演示）

因为是习题课，所以涉及的内容和计算量都比较大，所以合理的使用多媒体辅助教学给以让课堂高效，事半功倍，弥补教师板演耗时费力的不足，在结合PPT讲解的同时，也可以刺激学生学习积极性，热情主动的参与到学习中来，从而提升学习能力.此环节的设置即努力做到“高效，准确”，同时也是努力做

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到“以学生为主体，以教师为主导”.

【学情预设】

在学生板演展示小组合作学习的成果时，学生在课前已经充分预习、探讨，并得到了相应的解题过程.所以在展示环节，我要求学生要暴露其思维过程，是如何分析的、如何进一步探究的，鼓励学生深入思考，不怕犯错，敢于追问. 第一学习小组在此题的计算部分，可能会采用圆锥曲线求解的一般方法，即“方程”思想，即圆锥曲线与直线方程联立，通过求解方程的解的个数从而判定圆与直线的位置关系.但是此解法，虽是通法通则，具有一般性，但是计算量大，求解时容易出错、耗费时间.从而展示PPT，引导学生分析由圆与直线所确定的图形的平面几何性质，转化为在直角三角形中求解边角关系，大大的简化了运算.此处点评借助多媒体教学手段的帮助，让解题思维图像化，是复杂问题简单化，降低学生的学习负担.

角度2：圆的复数表示

例2.已知复数z满足z23i2，求z在复平面上对应的点的轨迹. 例3.已知复数z满足z23i1，求z12i的最小值.

【设计意图】

在刚学习过选修1-2-第三章数系的扩充与复数的引入的第一节第二课时复数的几何意义后，设置此习题，用以复习和进一步巩固重点知识.更是向学生强调高中的数学知识是一个整体，学习时应善于联想与追问，将所学知识融会贯通，训练学生举一反三. 在此处仍然借助多媒体教学手段，插入小型微课视频，向学生展示思维过程，将抽象的数学问题变为形象生动的“动画片”，吸引学生注意力，持续激发学生的学习动力.

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（在PPT中插入微课视频）

微课小视频的优点在于可缩短教学时间，视频体现都是核心内容；资源结构“情景化”，使教学单元主题鲜明，结构紧凑；利用动画设计，更增添了课堂的趣味性，增加学生的学习动机.

【学情设置】

这部分是学生理解和掌握的难点，因为是初次学习，再者基础知识薄弱，所以在此环节容易出现知识点掌握不牢，分析不清，思维混乱的情形.所以解决问题的方法即再次回到复数的模长的基本定义和运算公式.学生会在计算化简过程中体会课上之初所提到的“马甲思想”.

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例如在例2中的已知条件“复数z满足z23i2”，此处为何意？给第二学习小组一个展示的机会，敢于让学生犯错.学生可能会看不出此条件化简后即为圆的标准方程，则此问题即转化为圆与点的位置关系. 在“微课动画”的展示下，让学生弥补自己在思维上的漏洞，自己寻找到此例题的关键点，完善自己的探究解题过程，并可以借助实物展台投影加以演示.多媒体的适当使用，可以大大的提高课堂效率，做到“高效教学”.

角度3：圆的极坐标方程

2cos上运动，例5.在极坐标系中，定点A2,，点B在曲线C：求线段AB2长的最小值. 例6.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，

曲线C1：24cos30，曲线C2：42. cos4（1）求曲线C1及C2的直角坐标方程；

（2）设P，Q分别为曲线C1，C2上的动点，求P，Q间距离的最值. 【设计意图】

本节习题课，若时间允许，则可利用此题让学生再一次强化巩固已学新知.此环节仍继续借助多媒体教学手段，引导学生自行验证探究合作的学习结果. 【学情预设】

学生刚接触到新的坐标系，即“极坐标系”，需要适应.更要知道即便是在新的坐标系下，圆的方程的形态变了，但是此极坐标方程仍可转化为圆的直角坐标系方程，转化后，此题就与前面的习题类型相同.让学生自行转化，体会这两种坐标系下的圆的方程是怎样的.

（第三合作学习小组的学生积极上台板演）

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（引入多媒体PPT动画）

（四）小结概括，深化认知

本节课为圆的方程的综合应用习题课，可巧妙的利用平面几何知识解决与圆的方程相关的最值类问题.从中也要点明所涉及到的数学思想方法，若数形结合思想，化归与转化的思想. 【设计意图】

利用多媒体教学手段，再次回顾本节课的主要内容，也放手让学生自行总结，加深对内容的理解. 【学情预设】

对于基础薄弱的学生，最重要的就是要提高学生的学习积极性，降低学生学习的心理负担，激发学生的学习动力.

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七、自我评价：

A.审题不清 B.基础知识理解有误 C.计算马虎

D.考虑问题不够全面 E.方法不当 F.其他错误

解题体会： 八、布置作业：练习册P11-滚动习题（一）

板书设计

“圆”来如此

1．圆的直角坐标方程

2．圆的复数表示

3．圆的极坐标方程

例2：

练习

小结

例1：

例5：

九、教学反思

本课借助电脑多媒体辅助教学，如“POWERPOINT课件”（简称PPT）动画演示，微课、小视频的引入，实物展台的应用等. 在已有的知识积累下，进一步深入探究，新旧知识有机融合，建立相对完整的思维体系和知识体系. “多媒体”手段的引入，提升学生的参与度，使得抽象难理解的数学习题和数学思想形象、生动、易懂，“多媒体”更是节省了大量的时间，真正做到了将课堂还给学生，突出学生学习的主体地位.本节课根据知识点进行分类，设置了相应的三类习题，使学生更好的复习旧知，学习新知，真正做到新旧知融合. 多媒体教学手段的引入，主要也是在于改变从前教师“一言堂”的陈旧教学模式，将课堂还给学生，采用“合作-探究”小组合作学习的新模式，尊重学生的思维.在以教师为主导的新的教学模式下，预设问题，符合学生的最近发展区，从而提升学生的认知.

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多媒体教学手段的引入，使重难点得以突出，比如本节课中的与圆的方程相关的最值类问题.多媒体动画的使用，化繁为简，化难为易，将抽象与具体相结合，锻炼提升了学生分析问题、解决问题的能力. 本节课所用的素材，部分来自网络资源，所以要进行严格的筛选，保证质量，才能高效辅助教学.现代教育技术的发展给现代教学，当代课堂带来了巨大的变革，不但改变教师的授课环境，也改变着学生的学习方式.在本节课中，我都是根据学情分析预设可能答案，制作相应的PPT，以方便学生辨析使用，教师也可随时调整，增加了教学的灵活性. 但是多媒体教学手段的引入也会有一些有待完善和改进的地方，如学生若自主学习能力差，则会变成走马观花，没有专注于知识重难点；教师也可能会追求课件的完美，而忽略其实PPT等多媒体教学手段只是为主体教学服务的，容易舍本逐末. 如何才能使学生学的好，会学习，这是我们作为教师，应该一直需要思考和钻研的问题.在日后的工作中，我将继续在教学中适时适度的使用多媒体技术，调动学生的热情和积极性，提升学生的数学思维，更好的培养学生的数学核心素养.

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