习题4.1优质课教案推荐

圆的标准方程与一般方程

庄河市第二高级中学

邵萍

一、学习目标

1. 了解圆的定义，理解并掌握圆的标准方程和一般方程.

2. 掌握用待定系数法求圆的方程.

3. 掌握圆的标准方程与一般方程的互化.

4. 体会求轨迹方程的方法与思想.

二、重点、难点

重点：圆的标准方程，通过圆的一般方程求圆的标准方程，根据已知条件求圆的方程.

难点：根据已知条件求圆的方程.

三、考点分析

本节内容是圆的方程，有关圆的题目，多以选择题、填空题的形式重点考查其标准方程和一般方程，难度不大；有时，也将圆的方程作为解答题考查.

四、知识点

1. 圆的定义：平面到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点是圆心，定长是圆的半径.

2. 圆的标准方程：以C(a,b)为圆心，r（r0）为半径的圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2

3. 圆的一般方程：x2y2DxEyF0（DE4F0），圆心坐标为22DED2E24F22（,），半径为r.特别地，当DE4F0时，表示点222DE(,)；当D2E24F0时，不表示任何图形.

224. 点与圆的位置关系

已知点P(x1,y1),圆的方程C:(xa)2(yb)2r2

则PC(x1a)2(y1b)2

PCr点P在圆外；PCr点P在圆上；PCr点P在圆内.

例1. （1）求经过点P（1，3），Q（－2，2），且圆心在直线l:2x3y80上的圆的方程.（2）求圆心在直线l：5x3y8上，且与坐标轴相切的圆的方程.

【思路分析】

题意分析：求圆的方程关键是求出圆心坐标和半径.

解题思路：（1）设出圆心坐标，由已知条件构造方程组求解；或求出线段PQ的垂直平分线方程，与直线l的方程联立，解出交点坐标即为圆心坐标.

（2）圆与坐标轴相切，说明圆心到坐标轴的距离相等，即都等于圆的半径，由此可列出圆心坐标所满足的方程，解方程可得圆心坐标和半径.

【解答过程】（1）解法一：设圆心坐标为C(a,b)，

(a1)2(b3)2(a2)2(b2)2则有，

2a3b80a1解得：，

b2所以rPC(11)2(23)25，

所以所求圆的方程为(x1)2(y2)225.

解法二：根据条件可知圆心一定在线段PQ的垂直平分线上，

由直线的点斜式方程可求得线段PQ的垂直平分线方程为

3xy10，

由已知圆心也在直线l：2x3y80上，

3xy10所以由方程组解得圆心坐标为（1，－2），

2x3y80以下解法同解法一.

（2）设圆心为(a,b)，因为圆与坐标轴相切，

所以ab，圆心在已知直线上，

所以有5a3b8，

所以当a4a1|a||b|，解得，

或5a3b8b4b1a422时，ra＝4，所求圆的方程为(x4)(y4)16；

b4当a122时，ra＝1，所求圆的方程为(x1)(y1)1.

b1【题后思考】由已知条件构造出圆心坐标和半径的方程组，是求圆的方程的关键.

例2. 求过点A（－2，1），B（0，－1），C（－2，－3）的圆的方程.

【思路分析】

题意分析：利用圆的一般方程求解.

解题思路：设出圆的一般式方程，分别把三点的坐标代入方程，构成方程组，解此方程组即可得出所求结果.

【解答过程】设所求圆的方程为xyDxEyF0，因为A、B、C三点在圆上，

22(2)2122DEF0D42所以有(1)EF0，解此方程组得：E2，

F1(2)2(3)22D3EF0所求圆的方程为xy4x2y10.

22

【题后思考】本题也可以先求出圆心和半径进而列出圆的方程，但不如这种方法简捷.

例3. （1）求与圆x2y2x2y0关于直线xy10对称的圆的方程.

（2）求方程x2y24mx2y5m0表示圆的充要条件.

【思路分析】

题意分析：（1）所求圆与已知圆的半径相同，故只需求出圆心坐标即可求解.

（2）本题的关键是落实运用二元二次方程表示圆的充要条件.

解题思路：（1）先求出已知圆的圆心坐标和半径，再求出该圆圆心关于对称轴的对称点坐标.

（2）直接代入DE4F0得关于m的不等式，解不等式即可.

【解答过程】（1）圆的方程可化为(x)(y1)所以圆心的坐标为(,1)，半径为2212225，

415，

22设圆心关于直线xy10的对称点为(a,b)，

b111a2a2则有，解得3，

b1a2b121022所以所求圆的方程为(x2)(y)23225.

4（2）∵D2E24F(4m)2420m16m220m44(4m1)(m1)0

m1或m1.

4【题后思考】（1）由圆的一般方程要能够准确求出圆心坐标和半径，既可以用配方法将其转化为圆的标准式方程求解，也可以直接套用公式求解.

（2）并不是所有形如xyDxEyF0的方程都表示圆，用这样的方程表示圆的充要条件是DE4F0.

【知识小结】当已知条件与圆心、半径有关时，求圆的方程时，把方程设为标准方程更简便；对于圆的一般方程要会求圆心坐标和半径；另外还要掌握用二元二次方程表示圆的充要条件为DE4F0.

例4. 动点M到两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为1：2，求动点M的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线.

【思路分析】

题意分析：动点M满足的条件在已知条件中已明确给出，只需把它用坐标表示出来，并化简整理即可.

解题思路：设出动点M的坐标，分别用两点间的距离公式表示MO、MA的长.

222222

x2y211，【解答过程】设动点M的坐标为（x,y），由已知，

，22MA22(x3)yMO2x2y2(x3)2y2

两边平方并整理得：x2y22x30，

所以动点M的轨迹为以（－1，0）为圆心，以2为半径的圆.

【题后思考】求动点的轨迹方程即求动点的坐标（x,y）满足的方程，当已知条件中明确给出动点运动的条件时，只需把条件用坐标表示出来，并化简整理即可.

例5. 已知点A(2,0),B(2,0),AD2，E为线段BD的中点，求点E的轨迹方程.

【思路分析】

题意分析：（1）由已知条件可知点D的轨迹方程，把点D的坐标用点E的坐标表示出来，然后代入点D的轨迹方程.

（2）利用图形的几何性质可推出OE1，故可知点E的轨迹是以原点为圆心的圆.

解题思路：（1）设出点E的坐标，用中点坐标公式求出点D的坐标.

（2）由图形可得OE为△ADB的中位线.

【解答过程】解法一：设点E(x,y)，点D(x1,y1)，因为E为线段BD的中点，所以有

x12x2,y12y，

AD2

，(x12)2y14，

即(2x22)(2y)4，整理得：xy1.

解法二：连接OE，则OE为△ADB的中位线，

所以OE222221AD1，

2由圆的定义可知，点E的轨迹是以原点为圆心的圆，

方程为x2y21.

【题后思考】本题的两种解法分别用到了求轨迹方程的相关方法和定义法.

例6. 如果实数x,y满足方程(x3)2(y1)21，求：（1）的最大值和最小值；（2）3xy的最大值和最小值；（3）xy的最大值和最小值.

【思路分析】

题意分析：利用解题思路：22yxy,3xy,x2y2的几何意义，用数形结合的方法来解决.

xy的几何意义为圆上的点与原点连线的斜率；3xy的几何意义为设xb3xy，则b表示直线在y轴上的截距；x2y2的几何意义表示圆上的点到原点的距离的平方.

【解答过程】（1）y表示圆上的点与原点连线的斜率，过原点作圆的两条切线，

xy则切线的斜率分别为0和3，所以的最大值为3，最小值为0.

x（2）设b3xy，则b表示直线在y轴上的截距，

作圆的两条斜率为3的切线，这两条切线的截距分别为2和6，

所以3xy的最大值为6，最小值为2.

（3）x2y2表示圆上的点到原点的距离的平方，

因为圆心到原点的距离为2，

所以圆上的点到原点距离的最大值为3，最小值为1，

所以x2y2的最大值为9，最小值为1.

【题后思考】本题使用代数式的几何意义求解比较直观.易错点是误认为xy是圆上的点到原点的距离.

221225)(y3)2上两点P,Q满足：①关于直线ykx4

24对称；②OPOQ，求直线PQ的方程.

例7. 已知圆C：(x【思路分析】

题意分析：由圆上两点P,Q关于直线ykx4对称可知圆心在这条直线上，故斜率k的值可求，进而由OPOQx1x2y1y20.

解题思路：设出所求直线方程，代入圆方程，用根与系数的关系构造关于所求的方程.

【解答过程】由圆上两点P,Q关于直线ykx4对称可知圆心在这条直线上，

1k4，解得k2，

21则直线PQ的斜率为，设P点坐标为(x1,y1)，Q点坐标为(x2,y2)，

21直线PQ的方程为yxb，

2所以有3代入圆的方程整理得：5x24(4b)x4(b26b3)0，

16(4b)2454(b26b3)04(b4)所以x1x2

54(b26b3)x1x2511114b22b32，

y1y2(x1b)(x2b)x1x2b(x1x2)b22425

4(b26b3)4b22b30

OPOQx1x2y1y20，所以5535解得b或，经检验，0成立.

24所以所求直线PQ的方程为x2y30或2x4y50.

【题后思考】本题中由OPOQx1x2y1y20是解此类型题常用的结论；求出b的值后，应验证0是否成立.

【知识小结】在本讲中，我们学习了圆的标准方程和一般方程.在求圆的方程时，可根据已知条件选择适当的方程求解.解决有关圆的最值问题时，利用代数式的几何意义求解比较简便.

在解答有关圆的综合问题时，结合圆的性质求解是关键；求圆的方程时，如果已知条件与圆心、半径有关，一般采用圆的标准方程求解，如果与圆心、半径无直接关系，则使用圆的一般方程求解.