复习参考题精品学案

定点、定值问题

自贡市蜀光中学：王伶

教学目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；

（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；

（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力

教学过程：

考点一

定点问题

x2y2【例1】已知椭圆2＋2＝1(a＞0，b＞0)过点(0，1)，其长轴、ab焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q，P，与椭圆分别交于点M，N，各点均→→→→不重合且满足PM＝λ1MQ，PN＝λ2NQ.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点. 【解析】(1)设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，

且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，又a2＝b2＋c2，所以a2＝3. x22所以椭圆的方程为＋y＝1. 3

1

(2)由题意设P(0，m)，Q(x0，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

设l方程为x＝t(y－m)，

→→由PM＝λ1MQ知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)，

m∴y1－m＝－y1λ1，由题意y1≠0，∴λ1＝y－1. 1m→→同理由PN＝λ2NQ知λ2＝y－1. 2将③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，∴(mt)2＝1. 由题意mt＜0，∴mt＝－1，满足②，

得l方程为x＝ty＋1，过定点(1，0)，即Q为定点. ∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0，①

22x＋3y＝3，联立得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，

x＝t（y－m）∴由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)＞0，②

t2m2－32mt2且有y1＋y2＝2，y1y2＝2，③

t＋3t＋3

圆锥曲线中定点问题的两种解法

(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. (2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 对点训练

2

x2y2已知椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的两焦点在x轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点1S0，－3的动直线l交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 定值问题

x2y2【例2】已知椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，焦距为22.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过动点M(0，m)(m＞0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B. k′①设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明k为定值. ②求直线AB的斜率的最小值.

圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略

(1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；

(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件

3

化简、变形求得；

(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得. 练习：

C：x2y2已知椭圆b＞0)的离心率为3a2＋b2＝1(a＞2，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值.

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