2.1.4 平面与平面之间的位置关系课件配套优秀教案案例

第3讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

,[学生用书P131])

1．四个公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

2．空间直线的位置关系

(1)位置关系的分类

平行共面直线相交

异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

π②范围：0，．

2(3)定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

(1)空间中直线和平面的位置关系

位置关系

图形表示

符号表示

公共点

直线a在

有无数个

a⊂α

平面α内

公共点

续

表

位置关系

图形表示

符号表示

公共点

直线a与

没有公共平面α

a∥α

点

平行

直线

直线a与

在平

平面α

a∩α＝A

有且只有面外

斜交

一

直线a与

个公共点

平面α

a⊥α

垂直

(2)空间中两个平面的位置关系

位置关系

两平面平行

两平

面相

交

斜交

垂直

α⊥β且

α∩β＝a

α∩β＝l

图形表示

符号表示

α∥β

公共点

没有公共点

有一条公共

直线

1．辨明三个易误点

(1)正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”．

(2)不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”的条件．

(3)两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]．

2．证明共线问题的两种途径

(1)先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上；

(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．

3．证明共面问题的两种途径

(1)首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他线(或点)在此平面内；

(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合．

1．已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理错误的是(

) A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α

B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB

C．l⊄α，A∈l⇒A∉α

D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A

答案：C 2．(2015·高考广东卷)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(

) A．l与l1，l2都不相交

B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交

D．l至少与l1，l2中的一条相交

解析：选D.由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．

3．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(

)

解析：选D.A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．

4．(必修2P43练习T1改编)给出下列命题：

①经过三点确定一个平面；

②梯形可以确定一个平面；

③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；

④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．

其中正确的为________．

解析：经过不共线的三点可以确定一个平面，所以①不正确；两条平行线可以确定一个平面，所以②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，所以③正确；命题④中没有说清三个点是否共线，所以④不正确．

答案：②③

5．(2016·成都诊断)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，A1D1的中点，则A1B与EF所成角的大小为________．

解析：

如图，连接B1D1，D1C，B1C.由题意知EF是△A1B1D1的中位线，所以EF∥B1D1，又A1B∥D1C，所以∠B1D1C(或其补角)为异面直线A1B与EF所成的角．因为△D1B1C为正三ππ角形，所以∠B1D1C＝.故A1B与EF所成角的大小为.

33π答案：

3

考点一

平面的基本性质[学生用书P132]

如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：E、C、D1、F四点共面．

[证明]

如图所示，连接CD1、EF、A1B，

因为E、F分别是AB和AA1的中点，

1所以EF∥A1B且EF＝A1B.

2

又因为A1D1BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，

所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，

所以EF与CD1确定一个平面α，

所以E、F、C、D1∈α，即E、C、D1、F四点共面．

本例条件不变，如何证明“CE，D1F，DA交于一点”？

1证明：如图，由本例知EF∥CD1，且EF＝CD1，

2所以四边形CD1FE是梯形，

所以CE与D1F必相交，设交点为P，

则P∈CE，且P∈D1F，

又CE⊂平面ABCD，且D1F⊂平面A1ADD1，

所以P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.

又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，所以P∈AD，

所以CE、D1F、DA三线共点．

(1)点线共面问题证明的两种方法

①纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；

②辅助平面法：先证有关点、线确定平面α，再证其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合．

(2)证明多线共点问题的两步

①先证其中两条直线交于一点；

②再证交点在第三条直线上．证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理3证明.

1.

如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2. (1)求证：E，F，G，H四点共面；

(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．

证明：(1)因为E，F分别为AB，AD的中点，

所以EF∥BD.

BGDH1在△BCD中，＝＝，

GCHC2所以GH∥BD，所以EF∥GH.

所以E，F，G，H四点共面．

(2)因为EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，

所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.

所以P为平面ABC与平面ADC的公共点．

又平面ABC∩平面ADC＝AC，

所以P∈AC，所以P，A，C三点共线．

考点二

空间两直线的位置关系[学生用书P133]

如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：

(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；

(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．

[解]

(1)不是异面直线．

理由：连接MN，A1C1，AC.

因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.

又因为A1AC1C，

所以四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，

所以A，M，N，C在同一平面内，

故AM和CN不是异面直线．

(2)是异面直线．

理由如下：

因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，

所以B，C，C1，D1不共面．

假设D1B与CC1不是异面直线，

则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，

所以D1，B，C，C1∈α，

这与B，C，C1，D1不共面矛盾．

所以假设不成立，

即D1B和CC1是异面直线．

异面直线的判定方法

(1)定义法：依据定义判断(较为困难)．

(2)定理法：过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线为异面直线．(此结论可作为定理使用)

(3)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.

2.

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；

②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与MB1是异面直线；

④直线AM与DD1是异面直线．

其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．

解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．

答案：③④

考点三

异面直线所成的角(高频考点)[学生用书P133]

从近几年的高考试题来看，异面直线所成的角是高考的热点，题型既有选择题又有填空题，也有解答题，难度为中低档题；高考对异面直线所成的角的考查主要有以下两个命题角度：

(1)求异面直线所成的角或其三角函数值；

(2)由异面直线所成角求其他量．

(2014·高考课标全国卷Ⅱ)直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(

) 12A.

B．

105302C.

D．

102[解析]

如图，取BC的中点D，连接MN，ND，AD，

1由于MNBCBD，

211因此有NDBM，则ND与NA所成角即为异面直线BM与AN所成角．

设BC＝2，则BM＝ND＝6，AN＝5，AD＝5，

ND2＋NA2－AD230因此cos∠AND＝＝.

102ND·NA[答案]

C

求异面直线所成的角的三步曲

(1)一作：即依据定义作平行线，作出异面直线所成的角；

(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；

(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.

3.(1)(2016·陕西省质量检测)在正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，AB＝1，A′A＝2，则AC′与BC所成角的余弦值为(

) 55A.

B．

56630C.

D．

66(2)

如图所示，点A是平面BCD外一点，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝2，则异面直线AD和BC所成的角为________．

解析：(1)由题意知，∠AC′B′即为AC′与BC所成的角，连接AB′，在Rt△AC′B′6中，AC′＝6，B′C′＝1，故cos∠AC′B′＝.

6(2)如图，设G是AC的中点，连接EG，FG.

1因为E，F分别是AB，CD的中点，故EG∥BC且EG＝BC＝1，FG∥AD，

2

1且FG＝AD＝1，则∠EGF(或其补角)即为所求，又EF＝2，由勾股定理逆定理可得2∠EGF＝90°.

答案：(1)C

(2)90°

,[学生用书P134])

方法思想——构造模型判断空间线面位置关系

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．

[解析]

法一：如图，在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有一个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这三条异面直线都有交点，所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条．

法二：在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因为CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ(图略)，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．

[答案]

无数

(1)本题难度不大，但比较灵活．对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查难度一般都不会太大．

(2)注意本题解法较多，关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此不能解决问题．

(3)点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线，直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．

已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则(

) A．m与n异面

B．m与n相交

C．m与n平行

D．m与n异面、相交、平行均有可能

解析：选D.在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误．

1．已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(

) A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3

B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

解析：选B.在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的

三条侧棱，故D错．

2．(2016·赣州四校联考)若平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是(

) A．AB∥CD

B．AD∥CB

C．AB与CD相交

D．A，B，C，D四点共面

解析：选D.因为平面α∥平面β，要使直线AC∥直线BD，则直线AC与BD是共面直线，即A，B，C，D四点必须共面．

3．(2014·高考广东卷)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(

) A．l1⊥l4

B．l1∥l4

C．l1与l4既不垂直也不平行

D．l1与l4的位置关系不确定

解析：选D.

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.若l4＝DC1，也满足条件，可以排除选项B.故选D. 4.

如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必经过(

) A．点A

B．点B

C．点C但不过点M

D．点C和点M

解析：选D.因为AB⊂γ，M∈AB，所以M∈γ.

又α∩β＝l，M∈l，所以M∈β.

根据公理3可知，M在γ与β的交线上．

同理可知，点C也在γ与β的交线上．

5．(2016·昆明质检)已知A、B、C、D是空间四个点，甲：A、B、C、D四点不共面，乙：直线AB和直线CD不相交，则甲是乙成立的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A.因为A、B、C、D四点不共面，则直线AB和直线CD不相交，反之，直线AB和直线CD不相交，A、B、C、D四点不一定不共面．故甲是乙成立的充分不必要条件．

6．(2016·郑州模拟)

如图所示，ABCD­A1B1C1D1是正方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(

) A．A，M，O三点共线

B．A，M，O，A1不共面

C．A，M，C，O不共面

D．B，B1，O，M共面

解析：选A.连接A1C1，AC(图略)，则A1C1∥AC，

所以A1，C1，A，C四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A1.

因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1.

又M∈平面AB1D1，

所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，

同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．

所以A，M，O三点共线．

7．已知平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，则这四点能确定__________个平面．

解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个．

答案：1或4 8.

如图所示，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形．

11解析：易知EH∥BD∥FG，且EH＝BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝AC＝HG，22显然四边形EFGH为平行四边形．要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF＝EH，即AC＝BD；要使四边形EFGH为正方形需满足EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD.

答案：AC＝BD

AC＝BD且AC⊥BD

9．在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．

解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中GH与MN异面．

答案：②④

10.

如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，则AO与A′C′所成角的度数为________．

解析：连接AC.因为A′C′∥AC，

所以AO与A′C′所成的角就是∠OAC(或其补角)．

因为OC⊥OB，AB⊥平面BB′C′C，

所以OC⊥AB.又AB∩BO＝B，

所以OC⊥平面ABO.

又OA⊂平面ABO，所以OC⊥OA.

2在Rt△AOC中，OC＝，AC＝2，

2OC1sin∠OAC＝＝，

AC2所以∠OAC＝30°.即AO与A′C′所成角的度数为30°.

答案：30°

11.

如图，已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：AD与BC是异面直线．

证明：假设AD与BC共面，所确定的平面为α，那么点P、A、B、C、D都在平面α内，

所以直线a、b、c都在平面α内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，假设不成立，

所以AD和BC是异面直线．

12．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

(1)求AC与A1D所成角的大小；

(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．

解：

(1)如图，连接B1C，AB1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．

因为AB1＝AC＝B1C，

所以∠B1CA＝60°.

即A1D与AC所成的角为60°.

(2)连接BD，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1.

因为E，F分别为AB，AD的中点，

所以EF∥BD，所以EF⊥AC.所以EF⊥A1C1.

即A1C1与EF所成的角为90°.

1．(2016·辽宁省三校协作体一联)如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为(

) A．90°

C．60°

解析：选A. B．75°

D．45°

延长DA至E，使AE＝DA，连接PE，BE，因为∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，所以DE＝BC，DE∥BC.

所以四边形CBED为平行四边形．所以CD∥BE.

所以∠PBE(或其补角)就是异面直线CD与PB所成的角．

在△PAE中，AE＝PA，∠PAE＝120°，

由余弦定理得

PE＝PA2＋AE2－2·PA·AEcos∠PAE

－1＝3AE.

＝

AE2＋AE2－2·AE·AE·2在△ABE中，AE＝AB，∠BAE＝90°，所以BE＝2AE.因为△PAB是等边三角形，所以PB＝AB＝AE.

因为PB2＋BE2＝AE2＋2AE2＝3AE2＝PE2，所以∠PBE＝90°.故选A. 2．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．

解析：如图所示，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有不12×4同的位置，且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线＝24(对)．

2答案：24 3.

如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．

(1)求证：AE与PB是异面直线；

(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值．

解：(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为α.

因为A∈α，B∈α，E∈α，

所以平面α即为平面ABE，

所以P∈平面ABE，

这与P∉平面ABE矛盾，

所以AE与PB是异面直线．

(2) 取BC的中点F，

连接EF、AF，

则EF∥PB，

所以∠AEF(或其补角)就是异面直线AE和PB所成的角．

因为∠BAC＝60°，

PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，

所以AF＝3，AE＝2，EF＝2，

AE2＋EF2－AF2cos∠AEF＝

2·AE·EF2＋2－31＝＝，

2×2×241所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为. 44.

如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD11＝∠FAB＝90°，BCAD，BEFA，G，H分别为FA，FD的中点．

22(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；

(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？

解：(1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，

11所以GHAD.又BCAD，

22故GHBC.

所以四边形BCHG是平行四边形．

(2)C，D，F，E四点共面．

理由如下：

1由BEFA，G是FA的中点知，BE2所以EFBG.

由(1)知BG∥CH，

所以EF∥CH，故EC、FH共面．

又点D在直线FH上，

所以C，D，F，E四点共面．

GF，