4.3.2 空间两点间的距离公式课件配套优秀教案案例

第三章

直线与方程

3.3.2两点间的距离

一、教材分析

距离概念，在日常生活中经常遇到，学生在初中平面几何中已经学习了两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离的概念,到高一立体几何中又学习了异面直线距离、点到平面的距离、两个平面间的距离等.其基础是两点间的距离，许多距离的计算都转化为两点间的距离.在平面直角坐标系中任意两点间的距离是解析几何重要的基本概念和公式.到复平面内又出现两点间距离，它为以后学习圆锥曲线、动点到定点的距离、动点到定直线的距离打下基础，为探求圆锥曲线方程打下基础.

解析几何是通过代数运算来研究几何图形的形状、大小和位置关系的，因此，在学习解析几何时应充分利用“数形”结合的数学思想和方法. 在此之前，学生已学习了直线的方程、两直线的交点坐标，学习本节的目的是让学生知道平面坐标系内任意两点距离的求法公式，以及用坐标法证明平面几何问题的知识，让学生体会到建立适当坐标系对于解决问题的重要性.

课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展，即在课堂教学过程中，创设问题的情境，激发学生主动地发现问题、解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则.根据这样的原则及所要完成的教学目标，下的教学方法：主要是引导发现法、探索讨论法、讲练结合法. 二、教学目标

1、掌握两点间距离公式及应用

2、会用坐标法证明简单的平面几何问题

三、教学重难点

重点：两点间距离公式的推导

难点：应用两点间距离公式证明几何问题

四、教学过程

1、新课导入

1

【问题思考】

1.在x轴上两点A1(x1,0),B1(x2,0)间的距离如何计算? 2.在y轴上两点C(0,y1),D(0,y2)间的距离如何计算? 3.你能结合问题1,2推导出平面上任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式吗?

结论：两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2|=(x2x1)2(y2y1)2

思考辨析

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.

(1)原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离

. (

) (2)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),当P1P2∥y轴(x1=x2)时,|P1P2|=|y2-y1|. (

) (3)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),当P1P2∥x轴(y1=y2)时,|P1P2|=|x2-x1|. (

)

2、探究一：求两点间的距离

【例1】

已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC的形状.

思路分析：可求出三条边的长,根据所求长度判断三角形的形状. 反思感悟：

两点间的距离公式是解析几何的重要公式之一,它主要解决线段的长度问题,体现了数形结合思想的应用.

延伸探究：例1条件不变,求BC边上的中线AM的长和AM所在直线的方程.

3、探究二：求点的坐标

【例2】

已知点A(-3,4),B(2,

),在x轴上找一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.

思路分析：利用两点间的距离公式建立关于未知数的方程求解. 反思感悟：

利用坐标平面内两点间的距离公式可以求平面上任意两个已知点间的距离.反过来,已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标.

变式训练：已知点A(4,12),P为x轴上的一点,且点P与点A的距离等于13,则点P的坐标为

.

2

4、探究三：坐标法的应用

【例3】

已知Rt△ABC,∠B为直角,AB=a,BC=b,建立适当的坐标系,写出顶点A,B,C的坐标,并求证斜边AC的中点M到三个顶点的距离相等.

思路分析:取直角边所在的直线为坐标轴建立坐标系,再写出各顶点坐标,给出证明.

反思感悟：

1.坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点: (1)让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算; (2)如果条件中有互相垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑将中心作为原点;如果有轴对称性,可考虑将对称轴作为坐标轴.

2.利用坐标法解平面几何问题常见的步骤: (1)建立坐标系,尽可能将有关元素放在坐标轴上; (2)用坐标表示有关的量; (3)将几何关系转化为坐标运算; (4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.

5、思想方法探究：数形结合思想的典范——坐标法

【典例】

如图,在△ABC中,|AB|=|AC|,D是BC边上异于B,C的任意一点,求证:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|. 【审题视角】建立适当的直角坐标系,设出各顶点的坐标,应用两点间的距离公式证明.

变式训练：已知正三角形ABC的边长为a,在平面上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求此最小值.

五、课后作业

练习：1，2

习题A组：6，7，8

3