3.1直线的倾斜角与斜率（通用）优质公开课教案

3.1.1直线的倾斜角与斜率

藁城区第二中学

孟利改

一．教学设计

1.创设情景，导入新课: 2.师生互动，新课讲解；

3.课堂小结，巩固反思;

4.布置作业.

二．教学目标

1.知识与技能

1）理解直线的倾斜角和斜率的概念．

2）掌握斜率公式的推导过程，过两点的直线的斜率公式．

2.过程与方法

能对斜率和倾斜角的关系进行讨论，经历斜率公式的严格推导过程.

3.情感、态度与价值观

1）让学生初步感受用代数的方法表示几何概念，感受代数表达的抽象与简练．

2）培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

三．学情分析

直线的倾斜角和斜率”一节是解析几何的入门课，担负着开启全章的重任，因此在本课时的教学中不但要落实显性知识，更重要的是要揭示隐性知识：研究解析几何的基本方法——坐标法。

本课时涉及到两个概念——倾斜角和斜率,它们都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度。二者联系的桥梁是正切函数值，进一步可以用直线上两点的坐标表示直线的斜率。

倾斜角是一个桥梁，利用它可以将两直线的位置关系问题转化为斜率问题。而在建立直线方程，研究直线的几何性质时斜率起着重要的作用。因此，坐标法和斜率是本课时的核心概念。平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的。事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，因此已知“两个点可以确定直线的方向”，这与“一个点和直线的方向确定一条直线”是一致的。在教学中应注意引导学生认识到这种联系。

四．重点难点

重点: 理解直线的倾斜角、斜率的概念和掌握直线的倾斜率公式.

难点：理解直线斜率公式的推导过程.

五．教学过程

.1 第一学时

教学活动

活动1【导入】创设情景，导入新课

我

们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线

的位置能确定吗? 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?

思考：(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?

活动2【讲授】直线的倾斜角的概念

当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.

特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.

问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°.

当直线l与x轴垂直时, α= 90°因为平面直角坐标系内的每一条

直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.

直线a∥

b∥c, 那么它们的倾斜角α相

等吗? 答案是

肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.

确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点P和一个倾斜角α.

活动3【讲授】2.直线的斜率：

一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是

k = tanα

⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = ta n0°=0;

⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

（3）当

由00 900,k的值由0

当

由900 1800,k的值由

由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

例如, α=45°时, k = tan45°= 1;

α=135°时, k = tan135°= tan(180°－

45°) = - tan45°= - 1.

记住公式：tan（1800- ）= -tan [来源:学科网ZXXK]

活动4【练习】课堂练习

课堂练习1：

学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.

活动5【导入】

3. 直线的斜率公式：

给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?

并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的推导.

公式推导

斜率公式:

对于上面的斜率公式要注意下面五点：

(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直；

(2) k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;

(3) 斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;

(4) 当

y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合.

(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．

六．例题讲解

例1 如图，已知A(3, 2)，B(-4, 1)，C(0, -1)，求直线AB,BC,CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。

解：直线AB的斜率k = = ;

直线BC的斜率k = = =- ;

直线CA的斜率k = =1

由k ＞0及k ＞0知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；由k ＜0 知

直线BC的倾斜角为钝角。[来源:学科网ZXXK]

小结：

已知两点坐标, 而且

, 由斜率公式代入即可求得k的值;

而当k = tanα<0时, 倾斜角α是钝角;

而当k = tanα>0时, 倾斜角α是锐角;

而当k = tanα=0时, 倾斜角α是0°.

七．【活动】课堂小结，巩固反思

(1)直线的倾斜角和斜率的概念．

(2) 直线的斜率公式

八．【作业】布置作业

《课堂练习3.1.1》