3.1直线的倾斜角与斜率（通用）名师教学设计1

直线的倾斜角与斜率

商水二高

黄秀梅

教学目标

知识与技能

1、理解直线的倾斜角和斜率的概念；

2 掌握过两点的直线斜率的计算公式及应用。

过程与方法

1培养学生对数学知识的理解能力，应用能力及转化能力。

2，使学生初步了解数形结合，分类讨论的数学思想方法。

情感，态度与价值观

1，通过对直线倾斜角和斜率的学习，体验用代数方法刻画直线斜率的过程。

2，通过坐标法的引入，培养学生联系，对应，转化等辩证思维。

二、教学重难点

重点

直线的倾斜角和斜率的概念，，过两点的直线斜率的计算公式．

难点

直线的斜率与它的倾斜角之间的关系

三、教学过程设计

（一）教学基本流程

倾斜角与斜率的概念

过两点的斜率计算公式

倾斜角与斜率的关系

例题讲解及课堂练习

课堂

小结

（二）教学情景

1、导入新课

在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？

设计意图：通过对已有知识及思想方法的回忆，寻找新的知识“生长点”，引导学生用“坐标法”的思想来思考新的问题，激发学生的求知欲．

为了用代数方法研究直线的有关问题，本节课我们先来探索确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数方法把这些几何要素表示出来．

设计意图：使学生明确本课学习的内容

2、探究新知

（1）直线的倾斜角

问题1：对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置由哪些因素确定呢？一点能确定一条直线吗？

设计意图：引导学生发现，两点确定一条直线，过一点不能确定

一条直线

师生活动：通过作图得到答案

问题2：过一点可以作无数条直线，这些直线区别在哪里呢？

问题3：怎样描述直线的倾斜程度？

设计意图：探索描述直线倾斜程度的几何要素，由此由此倾斜角的概念

师生活动：教师启发学生可以用角来描述它们的倾斜程度

问题4：根据倾斜角的定义，你认为倾斜角的取值范围是什么？

0o设计意图：让学生明确倾斜角的取值范围是

180o师生活动：从定义出发，结合图形，探求倾斜角的取值范围. 问题5：任何一条直线都有倾斜角吗？已知直线的倾斜角能确定一条直线吗？

设计意图：使学生理解确定一条直线的位置的几何要素是：直线上的一个点以及它的倾斜角，两者缺一不可. 师生活动：组织学生讨论，通过图形，得出结论. （2）直线的斜率

问题6：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？

设计意图：基于学生的客观现实，结合已有的生活经验寻找几何要素代数化的方法. 师生活动：引导学生举出生活中的实例，比如，山坡，楼梯等，通过讨论发现“坡度”实际就是“倾斜角的正切值”，由此引出斜率概念. 问题7：是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？由此可以得到怎样结论？

设计意图：沟通数形关系，加上概念理解，明确可以用斜率表示直线的倾斜程度. 师生活动：倾斜角=90。时斜率不存在，切斜角不同其斜率也不同，因此可用斜率来刻画直线的倾斜程度．

问题8：给定两点p1(x1,y1)，p2(x2,y2)，且x1x2，如何求直线p1，p2的斜率k？

设计意图：引导学生推导出过两点的直线斜率公式．

师生活动：教师与学生共同完成倾斜角为锐角的推导，其余情形由学生自己完成．

问题9：当直线p1p2与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？当直线平行于y轴或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？已知直线上两点A(a1,a2)，B(b1,b2)，运用上述公式计算直线AB的斜率时，与A，B两点坐标的顺序有关吗？

设计意图：通过探索，完善两点式斜率公式，检验斜率的计算与p1，p2两点的顺序无关. x设计意图：引导学生得出它们的倾斜程度不同

师生活动：学生观察图形，思考回答问题

[来源:学+科+网Z+X+X+K]yo

师生活动:总结两点式斜率计算公式：k（3）倾斜角与斜率的关系

y2y1y1y2（x1x2）

x1x2x2x1设计意图：明确斜率的正负与倾斜角大小的关系

师生活动：学生自己归纳总结

3、应用示例

例1：已知A (3，2)，B (–4，1)，C (0，–1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角. 分析：已知两点坐标，而且x1

≠

x2，由斜率公式代入即可求得k的值；

当ktan0时，倾斜角是钝角；

当ktan0时，倾斜角是锐角；

当ktan0时，倾斜角是0°. 变式练习：

（1）把题中的B点坐标改为(-4，2)，此时直线AB的斜率和倾斜角分别是什么？

（2）把B点坐标改为(3，1)，此时直线AB的斜率和倾斜角分别是什么？

设计意图：根据斜率的定义式，结合图象，熟悉倾斜角和斜率的关系. 例2 ：在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，–3的直线l1和l2. 分析：要画出经过原点的直线l，只要再找出l上的另一点M.而M的坐标可以根据直线l的斜率确定；或者k = tan=1是特殊值，所以也可以以原点为角的顶点，x轴的正半轴为角的一边，在x轴的上方作45°的角，再把所作的这一边反向延长成直线即可. 变式练习：

(1)在平面直角坐标系中，画出经过点(-2,3)且斜率为0的直线m.

[来源:学+科+网](2)在平面直角坐标系中，画出经过点(-2,3)且斜率不存在的直线n. 设计意图：知识的应用

4、课堂小结：

（1）在本节课中，你学到了哪些新的概念？它们之间有什么关系？

（2）怎样求出已知两点的直线的斜率？

（3）从倾斜角(形)能刻画直线的倾斜程度，到斜率(数)也能刻画直线的倾斜程度，这个过程中主要体现了什么数学思想？

设计意图:培养学生反思的习惯，鼓励学生对研究的

问题进行质疑和概括．

5、课后作业

一、基础题（A组题）

1.有以下四个命题：

①

坐标平面上所有的直线都有倾斜角；

②

若一条直线的倾斜角存在，则必有唯一确定的斜率与之对应；

③

若一条直线的斜率为tan,则是它的倾斜角

④

若一条直线的倾斜角是,则一定有sin0,其中正确的命题个数是( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

二、巩固题（B组题）

直线mxny10的倾斜角是直线2xy10的倾斜角的2倍，且与两坐标轴所围成的三角形面积为6，求m,n的值。

关于本节教学设计的几点说明

本课是人教版数学必修2第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解析几何内容的开始．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是用以坐标法研究直线及其几何性质的基础．本课不仅要理解两个概念、得到一个公式，更要了解几何问题代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想方法．

本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用．倾斜角是从几何的角度描述了直线倾斜程度．课本结合具体图形，在探索确定直线位置的几何要素中给出直线倾斜角概念．斜率是从代数角度描述了直线倾斜程度．课本借助“坡度”引出直线斜率的概念．定义给出了直线的斜率与倾斜角的关系，沟通了刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示的关系．直线可由两点来确定，就是说，任给直线上两点P1(x1,

y1), P2(x2, y2)（其中x1≠x2），那么这条直线唯一确定，进而它的倾斜角与斜率也就确定了，这说明直线的斜率与这两点的坐标有内在联系，因此直线的斜率就可以用直线上两点的坐标来表示，这就是经过两点直线的斜率公式．“坐标法”与数形结合思想是本课内容蕴含的核心思想．