1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）ppt课件课堂实录

1 1.3空间几何体的表面积和体积

1、3、1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

教学设计

八师第二高级中学 罗荣

课程导入：在人类的生存空间中存在着各种各样的几何体，有的为了工作，需要度量几何体的表面积和体积。如对建筑物的装饰时，需要知道建筑物的表面积，以便计算用料和用工时，为了计算建筑物的容纳量需计算建筑物的体积；又如在机械制造时，为了下料需要计算物体的表面积等，例如粉碎机的下料斗是正四棱台形，它的两底面边长分别为80毫米和440毫米，高为200毫米，制造这样一个下料斗需要多少铁板？

要求：

新课标对本节内容要求是了解棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式），也就是说对体积和面积公式的推导、证明和记忆不作要求，按通常的理解是会求体积和面积，以及很简单的应用即可. 一、三维目标

知识与技能：了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式（不要求记忆）。了解圆柱（锥、台）侧面积推导过程，了解柱锥台体积公式的联系，会用以上公式解决相应的面积和体积问题。

过程与方法：通过多面体表面积的计算探讨体验到面积累加的思想方法。

通过圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式推导过程，体验到侧面展开，化曲面为平面的解题方法；通过柱、锥、台体积公式的探究，体会几何体体积的联系。

情感、态度与价值观：体现运动变化的思想认识事物的辩证唯物主义观点，通过和谐、对称、规范的图形，给学生以美的享受，提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意识，增加学生学习数学的兴趣；

重点：掌握柱体、锥体、台体表面积和体积计算方法，能计算简单组合体的表面积和体积。

难点：用联系、类比运动变化的思想推导柱体、椎体、台体的表面积公式。

二、探究与发现

1、阅读教材23—25页内容，回答问题（柱、锥、台表面积）

（1）.初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图，你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？

（2）棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的 几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？

（3）如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？

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（4）联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并

且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长

为l，你能计算出它的表面积吗？

结论：（1）正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积

（2）棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和. （3）它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S=2πr+2πrl=2πr(r+l).圆锥的侧面展开图是一个扇形.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l，那么它的表面积S=πr+πrl=πr(r+l).

（4）圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即.S（r'2r2r'lrl)

思考：圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？

练习一：完成教材例1、例2，体会例1、2所蕴含的解题技巧；完成教材第27页练习1；把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积是 . 2、阅读教材第25—27页内容，回答问题（柱、锥、台体积）

（5）回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗，并依次类比出柱体的体积公式吗？椎体呢？

（6）比较柱体、锥体、台体的体积公式：V柱体=Sh(S为底面积，h为柱体的高)；

V锥体=（1/3)Sh(S为底面积，h为锥体的高)；V台体 2222

3 =(1/3)(SSS'S')h(S′,S分别为上、下底面积，h为台体的高). 你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？

其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？

结论：（5）棱长为a的正方体的体积V=a=aa=Sh；长方体的长、宽和高分别为a,b,c，其体积为V=abc=(ab)c=Sh；底面半径为r高为h的圆柱的体积是V=πrh=Sh，可以类比，一般的柱体的体积也是V=Sh，其中S是底面面积，h为柱体的高.圆锥的体积公式是V=(1/3)Sh(S为底面面积，h为高)，它是同底等高的圆柱的体积的1/3.棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的1/3,即棱锥的体积V=(1/3)Sh (S为底面面积，h为高).由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的1/3.由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式V=(1/3)(S′+S'S+S)h,其中S′，S分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）高.注意：不要求推导公式，也不要求记忆.<6>柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体.当S′=0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式;当S′=S时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式. 柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系,如图：

三、应用训练

练习二：完成教材26页例3，体会例3中蕴含的解题技巧；完成教材27页练习2；把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积；已知三棱锥O-ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC=1，OA=x，OB=y，且x+y=4，则三棱锥体积的最大值是 ；④已知正三棱台（上、下底面是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心）的上下底面边长分别是2cm和4cm，侧棱长是6232cm，试求该三棱台的表面积与体积；④：一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为 （根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图12所示为该三棱3

4 锥的直观图，并且侧棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC.结果：1/6) 四、布置作业 1、教材第28.29页习题1.3A组第1、2、3、4题；教材复习参考题A组第5、6、7 2、选做题：养路处建造圆锥形仓库用于存储食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高4m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m（高不变）；二是高度增加4m（底面直径不变）.分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；分别计算按这两种方案所建仓库的表面积；哪个方案更经济些？（比较表面积和体积，体积大、表面积好更实惠经济）.

五：课堂小结：

1.

柱体、锥体、台体表面积和体积

2.

具体应用具体分析。

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